Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（m，cos2x），

b

=（1+sin2x，1），x∈R，且函数y=f（x）的图象经过点(

π

4

，2)
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及此时x的取值集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由向量的数量积的坐标表示可得，f（x）=

a

•

b

=m（1+sin2x）+cos2x=m+msin2x+cos2x，由f（

π

4

）=2可求m
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1+sin2x+cos2x=1+

2

sin(2x+

π

4

)，结合正弦函数的性质可求

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

•

b

=m（1+sin2x）+cos2x=m+msin2x+cos2x
由已知f(

π

4

)=m(1+sin

π

2

)+cos

π

2

=2，
∴2m=2即m=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1+sin2x+cos2x=1+

2

sin(2x+

π

4

)
∴当sin(2x+

π

4

)=-1时，f（x）的最小值为1-

2

此时2x+

π

4

=-

π

2

+2kπ即{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}

点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的性质的应用，属于基础试题