Question

（附加题）已知f（x）是定义在R上单调函数，对任意实数m，n有：f（m+n）=f（m）•f（n）；且x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）证明：f（0）=1；
（2）证明：当x＜0时，f（x）＞1；
（3）当f(4)=

1

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时，求使f(x2-1)•f(a-2x)≤

1

4

对任意实数x恒成立的参数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令m＞0，n=0，结合f（m+n）=f（m）•f（n），可证得f（0）=1；
（2）由f（m+n）=f（m）•f（n）；且x＞0时，0＜f（x）＜1，令m=x＜0，n=-x＞0，结合（1）中f（0）=1，可证得当x＜0时，f（x）＞1；
（3）根据函数的单调性及（2）中结论，可将抽象不等式f(x2-1)•f(a-2x)≤

1

4

具体化，进而根据二次不等式恒成立问题，求出参数a的取值范围．

解答：证明：（1）在f（m+n）=f（m）•f（n）中，
取m＞0，n=0，
有f（m）=f（m）•f（0），
∵x＞0时，0＜f（x）＜1，
∴f（0）=1                                               …（2分）
（2）设m=x＜0，n=-x＞0，
则0＜f（-x）＜1，
∴f（m+n）=f（0）=f（x）•f（-x）=1
∴f（x）=

1

f(-x)•

＞1，
即x＜0时，f（x）＞1                                         …（5分）
解：（3）∵f（x）是定义在R上单调函数，
又f（0）=1＞f(4)=

1

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∴f（x）是定义域R上的单调递减函数                                                 …（6分）
f(4)=f2(2)=

1

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，且由已知f（2）＞0，
∴f（2）=

1

4

                                …（7分）
∴原不等式变为f[(x2-1)+(a-2x)]≤

1

4

，
即f（x²-2x+a-1）≤f（2）…（8分）
∴f（x）是定义域R上的单调递减函数可得，
x²-2x+a-1≥2对任意实数x恒成立
即x²-2x+a-3≥0对任意实数x恒成立
∴△=4-4（a-3）≤0，
∴a≥4                                                    …（10分）

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，抽象函数及其应用，难度稍大，是中档题．