Question

附加题：
已知f（x）=x-

1

x

，
（1）判断函数在区间（-∞，0）上的单调性，并用定义证明；
（2）画出该函数在定义域上的图象．（图象体现出函数性质即可）

Answer 1

分析：（1）设x₁＜x₂＜0，则f（x₁）-f（x₂）=x1-

1

x1

-x2+

1

x2

=

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

，结合已知可判断f（x₁）＞f（x₂），从而可证
（2）f（x）=x-

1

x

的定义域为{x|x≠0}，为奇函数，f（1）=f（-1）=0，f（x）在区间（-∞，0）上的单调递增，f（x）在区间（0，+∞）上的单调递增，结合函数的性质可画出函数的图象

解答：解：（1）函数f（x）在（-∞，0）上递增．…（1分）
证明：设x₁＜x₂＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=x1-

1

x1

-x2+

1

x2

=（x₁-x₂）+（

1

x2

-

1

x1

）
=(x1-x2)+

x1-x2

x1x2

=

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

∵x₁＜x₂＜0，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，1+x₁x₂＞0
∴

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调递增…（8分）
（2）∵f（x）=x-

1

x

的定义域为{x|x≠0}，且为奇函数，f（1）=f（-1）=0
f（x）在区间（-∞，0）上的单调递增，f（x）在区间（0，+∞）上的单调递增…（10分）
图象如图所示

点评：本题主要考查了函数的单调性的定义在证明函数的单调性中的应用，画出函数的图象的关键是熟练应用函数的性质