Question

4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，$4{sin^2}\frac{B+C}{2}-cos2A=\frac{7}{2}$．
（1）求角A的度数；
（2）若$a+c=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，b=\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得4cos²A-4cosA+1=0，解得：cosA=$\frac{1}{2}$，结合A为三角形内角可求A的值．
（2）由余弦定理得b²+c²-a²-bc=0，结合已知可求c的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）依题意可得：$4•\frac{1-cos（B+C）}{2}-（2{cos^2}A-1）=\frac{7}{2}$，…（2分）
∴整理可得4cos²A-4cosA+1=0，
∴解得：cosA=$\frac{1}{2}$，…（4分）
∴$A=\frac{π}{3}$．…（5分）
（2）由余弦定理得：cosA=$\frac{1}{2}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴b²+c²-a²-bc=0，
∴3+c²-（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-c）²$-\sqrt{3}c$=0，
∴3$+{c}^{2}-\frac{27}{4}$-c²+3$\sqrt{3}c$-$\sqrt{3}c$=0，
∴c=$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，…（9分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}•\sqrt{3}•\frac{{5\sqrt{3}}}{8}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{15\sqrt{3}}}{32}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．