Question

14．定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）．若当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），求当-1≤x≤1时，f（x）的解析式，并指出在[-1，1]上的单调性．

Answer 1

分析 由条件可设-1≤x≤0时，0≤x+1≤1，由已知解析式，即可得到所求f（x）的解析式，由二次函数的单调性，即可得到所求单调性．

解答 解：当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），
当-1≤x≤0时，0≤x+1≤1，
故f（x+1）=（x+1）（1-x-1）=-x（x+1），
又f（x+1）=2f（x），
所以$f（x）=-\frac{x（x+1）}{2}$．
则$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（1-x），0≤x≤1\\-\frac{x（x+1）}{2}，-1≤x＜0\end{array}\right.$，
可得f（x）在[-1，-$\frac{1}{2}$]单调递增，[-$\frac{1}{2}$，0]单调递减，
在[0，$\frac{1}{2}$]单调递增，在[$\frac{1}{2}$，1]单调递减．

点评 本题考查函数的解析式的求法，注意运用转化思想，以及二次函数的单调性，考查化简整理的变形能力，属于中档题．