Question

已知数列{a_n}中，a₂=2，前n项和为．
（I）证明数列{a_n+1-a_n}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，求使不等式对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

解：（I）由题意，当．
a₂=2，则a₂-a₁=1．
当，，
则，
则（n-1）a_n+1-2（n-1）a_n+（n-1）a_n-1=0，
即a_n+1-2a_n+a_n-1=0，
即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1．
则数列{a_n+1-a_n}是首项为1，公差为0的等差数列．…（6分）
从而a_n-a_n-1=1，则数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
所以，a_n=n（n∈N^*）…（8分）
（II）…（10分）
所以，
=．…（12分）
由于．
因此T_n单调递增，
故T_n的最小值为…（14分）
令，
所以k的最大值为18．…（16分）
分析：（I）由题意，当．a₂=2，则a₂-a₁=1．当，由此入手能够导出数列{a_n+1-a_n}是首项为1，公差为0的等差数列，从而能够求出a_n．
（II），所以，=．由此能够求出使不等式对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．