Question

11、求证：关于x的方程ax³+bx²+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-（c+d）．

Answer 1

分析：要证明关于x的方程ax³+bx²+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-（c+d）．我们要分充分性和必要性两部分证明，充分性证明，即假设a+b=-（c+d）成立，推理后得到方程ax³+bx²+cx+d=0有一根为1，必要性证明则假设方程ax³+bx²+cx+d=0有一根为1推理得到a+b=-（c+d），两们部分均成立才能得到方程ax³+bx²+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-（c+d）．

解答：证明：充分性：
∵a+b=-（c+d），
∴a+b+c+d=0，
∴a×1³+b×1²+c×1+d=0成立，
故x=1是方程ax³+bx²+cx+d=0的一个根．
必要性：关于x的方程ax³+bx²+cx+d=0有一个根为1，
∴a+b+c+d=0，
∴a+b=-（c+d）成立．
故方程ax³+bx²+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-（c+d）．

点评：本题考查的是充要条件的证明，有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”?“结论”是证明命题的充分性，由“结论”“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．