Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等边三角形， 且2AA₁=AB，D、E、F分别是B₁C₁，A₁B，
A₁C的中点。

（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C；
（3）求直线A₁D与平面A₁BC所成的角。

Answer 1

（1）证明：因为E，F分别是A1B，A1C的中点， 所以EF∥BC， 又EF平面ABC，BC平面ABC， ∴EF∥平面ABC。 （2）证明：因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱， 所以BB1⊥平面A1B1C1， 又AD1平面A1B1C1， 所以BB1⊥AD1， 又△A1B1C1为等边三角形，D是B1C1的中点， ∴A1D⊥B1C1， 又B1C1∩BB1=B1， 所以A1D⊥平面BB1C1C， 又A1D平面A1FD， ∴平面A1FD⊥平面BB1C1C。
（3）解：取M为BC的中点，连结DM，A1M， 易知， ∴， ∴BC⊥平面A1DM， 又BC平面A1BC， ∴平面A1DM⊥平面A1BC， ∴， ∴ 又， ∴，。