下面四个命题:①命题“?x∈R.x2-x＞0 的否定是“?x∈R.x2-x≤0 ,②把函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π3个单位.得到y=3sin2x的图象,③函数f(x)=ax2-lnx的图象在x=1处的切线平行于直线y=x.则(22.+∞)是f(x)的单调递增区间,④正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1:3,其中所有正确命题的序号为①③④①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

下面四个命题：①命题“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；
②把函数y=3sin（2x+

）的图象向右平移

个单位，得到y=3sin2x的图象；
③函数f（x）=ax²-lnx的图象在x=1处的切线平行于直线y=x，则（

，+∞）是f（x）的单调递增区间；
④正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1：3；
其中所有正确命题的序号为

①③④

．

分析：根据含有量词的命题的否定的方法，得到①正确；根据函数图象平移的规律，得到②错误；根据导数的几何意义，结合利用导数判断函数单调性的方法，得到③正确；根据正方体的结构特征，结合球的表面积公式，得到④正确．

解答：解：对于①，它是一个含有量词的命题
“?x∈R，x²-x＞0”即“存在x∈R，使得x²-x＞0成立”，其否定应该是不存在满足条件的x．
也就是说，对于任意的x∈R，都有x²-x≤0，即“?x∈R，x²-x≤0”，故①正确；
对于②，设F（x）=3sin（2x+

），图象向右平移

个单位，应该得到F（x-

）=3sin（2x-

），
而不是y=3sin2x的图象，故②错误；
对于③，若函数f（x）=ax²-lnx的图象在x=1处的切线平行于直线y=x，
说明f′（1）=1，而f/(x)=2ax-

所以2a-1=1，得a=1，函数表达式为f（x）=x²-lnx
∴f/(x)=2x-

2x2-1

，当x∈（

，+∞），f′（x）＞0，函数为增函数，故③正确；
对于④，设正方体的棱长为a，则它的内切球半径为

，表面积为4π•(

)2=4πa²，
而正方体的外接球半径为

a，可得外接球的表面积为4π•(

)2=12πa²
∴内切球与其外接球的表面积之比为1：3，故④正确
故答案为：①③④

点评：本题综合了含有量词的命题的否定、导数的几何意义、运用导数判断函数的单调性和球的内接外切等知识点，考查了命题真假的判断，属于中档题．

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．（写出所有真命题的序号）

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．
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①③

．

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