Question

【题目】已知为坐标原点， ， 是椭圆上的点，且，设动点满足．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，求三角形面积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】试题分析：

(Ⅰ)设点， ， ，结合整理变形可得动点的轨迹的方程为．

(Ⅱ)联立直线与椭圆方程可得，理由弦长公式有 ，且点到直线的距离，据此可得面积函数： ，即三角形面积的最大值为．

试题解析：

（Ⅰ）设点， ， ，

则由，得，

即， ，因为点在椭圆上，

所以， ，

故

，

因为，

所以动点的轨迹的方程为．

（Ⅱ）将曲线与直线联立： ，消得： ，

∵直线与曲线交于两点，设， ，

∴ ，又∵，得，

， ，

∴ ，

∵点到直线的距离，

∴

，当时等号成立，满足（*）

∴三角形面积的最大值为．