Question

（本小题满分12分）已知线段的端点B在圆上运动，端点的坐标为，线段中点为，

（Ⅰ）试求点的轨迹方程；

（Ⅱ）若圆与曲线交于两点，试求线段的长．

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）代入法适用于条件中有两个动点，且已知一个动点(主动点)的轨迹而求另一个动点(被动点)轨迹的情况．代入法求轨迹方程的步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．（Ⅱ）只需结合到图象即可解决.

试题解析：（Ⅰ）设，则由题意可得：解得：， 2分

∵点B在圆上，∴， 3分

∴，即 5分

∴轨迹方程为 6分

（Ⅱ）由方程组解得直线的方程为 9分

圆的圆心到直线的距离为，圆的半径为4，

∴线段的长为 12分

考点：轨迹方程、中点坐标公式、点到直线的距离.