练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    如图1，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h。

    （Ⅰ）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；

    （Ⅱ）证明：EF∥面ABCD；

    （Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是V=（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明。

    （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）


    解析:

    （Ⅰ）解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1G⊥PQ，垂足为G。

    如图所示：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°，

    ∴AB⊥PQ，AB⊥B1P.

    ∴∠B1PG为所求二面角的平面角.过C1作C1H⊥PQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形。

    ∴PG=（b－d），又B1G=h，∴tanB1PG=（b＞d），

    ∴∠B1PG=arctan，即所求二面角的大小为arctan.

    （Ⅱ）证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD，

    又CD是面ABCD与面CDEF的交线，

    ∴AB∥面CDEF。

    ∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，

    ∴AB∥EF。

    ∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，

    ∴EF∥面ABCD。

    （Ⅲ）V估＜V。

    证明：∵a＞c，b＞d，

    ∴V－V估=

    =［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］

    =（a－c）（b－d）＞0。

    ∴V估＜V。

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•珠海二模）如图1，在边长为4cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合于点B，构成一个三棱锥（如图2）．
    （1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给予证明；
    （2）证明：平面ABE⊥平面BEF；
    （3）求多面体E-AFNM的体积．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图1，在边长为4cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合于点B，构成一个三棱锥（如图2）．
    （1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给予证明；
    （2）证明：平面ABE⊥平面BEF；
    （3）求多面体E-AFNM的体积．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：2012-2013学年浙江省衢州市江山实验中学高二（上）12月月考数学试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    如图1，在边长为4cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合于点B，构成一个三棱锥（如图2）．
    （1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给予证明；
    （2）证明：平面ABE⊥平面BEF；
    （3）求多面体E-AFNM的体积．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：2011-2012学年广东省深圳市第二高级中学高一（下）期末数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图1，在边长为4cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合于点B，构成一个三棱锥（如图2）．
    （1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给予证明；
    （2）证明：平面ABE⊥平面BEF；
    （3）求多面体E-AFNM的体积．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：2012年广东省珠海市高考数学二模试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    如图1，在边长为4cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合于点B，构成一个三棱锥（如图2）．
    （1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给予证明；
    （2）证明：平面ABE⊥平面BEF；
    （3）求多面体E-AFNM的体积．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案