Question

设函数。

（1）求函数的极大值；

（2）若时，恒有成立（其中是函数的导函数），试确定实数的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）的单调递增区间为（a,3a）；的单调递减区间为和．当x=3a时，有极大值，其极大值为f(3a)=1． （2）．

【解析】第一问中利用导数来判定单调性，从而得到极值，

当时，得a<x<3a；当时，得x<a或x>3a；

∴的单调递增区间为（a,3a）；

的单调递减区间为和

第二问中∵，

①当0<a<1/3时，1-a>2a，∴在区间[1-a,1+a]内是单调递减．                             

∵，∴

此时，a不存在．

②当时，．

∵，∴即 

此时，

解（1）∵

当时，得a<x<3a；当时，得x<a或x>3a；

∴的单调递增区间为（a,3a）；

的单调递减区间为和． ………………3分

故当x=3a时，有极大值，其极大值为f(3a)=1．…………… 4分             

（2）∵，

①当0<a<1/3时，1-a>2a，∴在区间[1-a,1+a]内是单调递减．                             

∵，∴

此时，a不存在． ………7分

②当时，．

∵，∴即 

此时，．                 ………………10分

综上可知，实数a的取值范围为．……………… 12分