Question

（本题10分）

已知函数 (为实常数)．

（1）若，求证：函数在上是增函数；

（2）求函数在区间上的最小值及相应的值；

（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

解：（1）当时，，

∵，又，

∴，故函数在上是增函数．             …………2分

（2）∵，

而时，，

∴①当，即时，（仅当时，），

故函数在上为增函数，此时

②当，且，即时，

令得，（）

∵时，；时，，

∴，

③当，即时，（仅当时，），

故函数在上为减函数，此时．

综上可知，当时，函数的最小值为1，相应的值为1；

当时，函数的最小值为，相应的值为；

当时，函数的最小值为，相应的值为．    ………… 6分

（3）法一：

由不等式，即，

化为，

∵，∴且等号不能同时取到，所以，即，

∴（）

令（），又，

∵，

∴，，，

从而，仅当时取等号，所以在上为增函数，

故的最小值为，所以的取值范围是．      …………10分

（3）法二：

设，

则，

∵，∴ ，，

∴①当，即时，，∴在上为增函数，

∴，由题意，解得，∴；

②当，即时，

若，则，在上为减函数；

若，则，在上为增函数；

∴，

由题意，

因为，所以式恒成立，∴；

③当，即时，，在上为减函数，

∴，由题意，

解得，因为，∴；

综上所述：的取值范围是．                          …………10分