Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，D、E分别是BB₁、CC₁的中点，M是DE的中点．
（1）求证：DE⊥平面AMA₁；
（2）求三棱锥A₁-ADE的体积；
（3）求二面角A-DA₁-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以A为原点，

AB

、

AC

、

AA1

分别为x轴、y轴、z轴的正方向，AB的长度为单位长度建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，构造向量，根据向量垂直得到线面垂直．
（2）根据所给的条件先证明线与面垂直，这样就做出这条垂线是要求的三棱锥的高，只要做出对应的底的面积就可以得到体积．
（3）建立坐标系，写出要用的点的坐标，构造向量，设出平面的法向量，求出法向量，根据两个向量所成的角的余弦，确定两个平面的夹角的余弦值，注意观察余弦值的符号．

解答：解：（1）以A为原点，

AB

、

AC

、

AA1

分别为x轴、y轴、z轴的正方向，AB的长度为单位长度建立空间直角坐标系．
由题设知点A，A₁，D，E，M的坐标分别为(0，0，0)，(0，0，2)，(1，0，1)，(0，1，1)，(

1

2

，

1

2

，1)．
∴

AA1

=（0，0，2），

DE

=(-1，1，0)，

AM

=(

1

2

，

1

2

，1)
∴

DE

•

AA1

=0，

DE

•

AM

=0
∴AA₁⊥DE，DE⊥AM，AM∩AA₁=A，AM?平面AMA₁，AA₁?平面AMA₁
∴DE⊥平面AMA₁
（2）取AA₁的中点F，连DF，EF
∴DF₌^∥AB=1，EF₌^∥AC=1∴DF⊥AA₁，DF⊥EF
又AA₁∩EF=F，AA₁?平面AA₁E，EF?平面AA₁E
∴DF⊥平面AA₁E∴VA1-ADE=VD-A1AE=

1

3

•S△A1AE•DF=

1

3

×

1

2

×AA1×EF×DF=

1

6

×2×1×1=

1

3

（3）以A为原点，

AB

、

AC

、

AA1

分别为x轴、y轴、z轴的正方向，AB的长度为单位长度建立空间直角坐标系．
由题设知点A，A₁，D，C，E的坐标分别为（0，0，0），（0，0，2），（1，0，1），（0，1，0），（0，1，1）．
∴

A1E

=（0，1，-1），

A1D

=(1，0，-1)，

AC

=（0，1，0）
设平面A₁DE的法向量为

n

=(x，y，z)

A1E • n =0 A1D • n =0

?

y-z=0 x-z=0

，取x=1，得

n

=(1，1，1)．
∵AB⊥AC，AA₁⊥AC，
∴AC⊥平面A₁DAcos?

AC

，

n

＞=

AC • n

| AC |•| n |

=

1

3

=

3

3

．
结合图象知二面角A-DA₁-E的余弦值是

3

3

．

点评：本题考查空间向量求二面角，本题解题的关键是建立坐标系，把难度比较大的二面角的求法和线面之间的位置关系，转化成了数字的运算．此类题由于运算量大，易运算出错，解题时谨记．