Question

已知f(x)=

1+lnx

x

（e是自然对数的底数，e≈2.71828）
（1）求f（x）的极大值；
（2）若x₁，x₂是区间[

1

e

，e]上的任意两个实数，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

Answer 1

分析：（1）求导函数，令导数大于0或小于0，由此能得到函数f（x）的单调区间，进而得到函数的极大值；
（2）由（1）可知函数的单调区间，即可得到函数区间[

1

e

，e]上的单调性，进而得到函数在区间[

1

e

，e]上的最值，即得证．

解答：（1）解：∵f(x)=

1+lnx

x

（x＞0），
∴f'（x）=

1 x •x-(1+lnx)

x2

=-

lnx

x2

，
令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1，
故f（x）在区间（0，1）上为增函数，在区间（1，+∞）上为减函数，
即函数在x=1时取得极大值，且极大值为1；
（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，1）上为增函数，
在区间（1，+∞）上为减函数，
故函数在区间[

1

e

，1)上为增函数，在（1，e]上为减函数，
又f(

1

e

)=

1+ln 1 e

1 e

=0，f(e)=

1+lne

e

=

2

e

，f(1)=

1+ln1

1

=1
∴f（x）_max=f（1）=1，f（x）_min=f（

1

e

）=0
∴对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=1-0=1，
即|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，具体涉及到函数解析式的求法和不等式的证明，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．