Question

已知f（x）=cos⁴x-sin⁴x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）叙述y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的变换得到f（x）的图象．

Answer 1

分析：（1）先由同角正余弦的关系式及余弦的倍角公式把原函数转化为y=cosωx的形式，再利用y=cosωx的性质解决问题；
（2）先由y=sinx（x∈R）的图象变换得到y=cosx（x∈R）的图象，再变换得到y=cos2x（x∈R）的图象．

解答：解：（1）f（x）=cos⁴x-sin⁴x
=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）
=1•cos2x
=cos2x
∴函数的最小正周期为T=π
∵2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，
∴kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈Z，
∴f（x）的单调减区间为[kπ，kπ+

π

2

](k∈Z)；
（2）先把y=sinx（x∈R）的图象向左平移

π

2

个单位得到y=cosx（x∈R）的图象，
再把y=cosx（x∈R）的图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，
即得到y=cos2x（x∈R）的图象．

点评：本题考查同角正余弦的关系式及余弦的倍角公式，同时考查函数y=cosωx的性质及图象变换．