Question

求下列圆的方程

(1)圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5，2)和点(3，-2).

(2)与y轴相切，圆心在直线x-3x=0上，且被直线y=x截得的弦长为.

Answer 1

解析：因为条件与圆心有直接关系，因此设圆的标准方程即可解决问题.

(1)∵圆过A(5，2)，B(3，-2)两点，

∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.

线段AB的垂直平分线方程为y= (x-4).

设所求圆的圆心坐标为C(a,b)，则有

  解得

∴C(2，1),r=|CA|=.

∴所求圆的方程为    (x-2)²+(y-1)²=10.

(2)设圆C的方程为    (x-a)²+(y-b)²=r².

由圆C与y轴相切得|a|=r.                  ①

又圆心在直线x-3x=0上，∴a-3b=0.         ②

圆心C(a,b)到直线y=x的距离为  .

由于弦心距d、半径r及弦的一半构成直角三角形，

∴.                ③

联立①②③解方程组可得或

故圆C的方程为(x-3)²+(y-1)²=9或(x+3)²+(y+1)²=9.