Question

求下列圆的方程:

(1)圆心在直线y=-2x上且与直线y=1-x相切于点(2,-1);

(2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为2.

Answer 1

解:(1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线y=1-x相切于点(2,-1),所以= ,解得a=1.所以所求圆心坐标为(1,-2),半径r==

.所以所求圆的标准方程为(x-1)²+(y+2)²=2.

(2)设圆的方程为(x-2)²+(y+1)²=r²(r＞0),由题意知圆心到直线y=x-1的距离为d==.又直线y=x-1被圆截得弦长为2,所以由弦长公式得r²-d²=2,即r=2.所以所求圆的标准方程为(x-2)²+(y+1)²=4.

点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决.