【题目】已知定义在实数集上的偶函数
和奇函数
满足
.
(1)求与
的解析式;
(2)求证:在区间
上单调递增;并求
在区间
的反函数;
(3)设(其中
为常数),若
对于
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1),
;(2)见解析,
,
;(3)
【解析】
(1)利用函数的奇偶性构造,解出两个函数的解析式;
(2)由(1)可知,利用定义证明函数的单调性,令
,整理为
,解得
,再求反函数;
(3)在
单调递增,∴
,
对于
恒成立,然后利用参变分离为
对于
恒成立,求
的取值范围.
(1)①,
因为是偶函数,
是奇函数,所以有
,即
②
∵,
定义在实数集
上,
由①和②解得,,
.
(2),当且仅当
,即
时等号成立.对于任意
,
,
因为,所以
,
,
,
,
,
,
从而,所以当
时,
递增.
设,则
,令
,则
.再由
解得
,即
.
因为,所以
,
因此的反函数
,
.
(3)∵在
单调递增,∴
.
∴对于
恒成立,∴
对于
恒成立,
令,则
,当且仅当
时,等号成立,且
,
所以在区间上
单调递减,∴
,
∴为
的取值范围.
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【题目】已知命题:“若,
为异面直线,平面
过直线
且与直线
平行,则直线
与平面
的距离等于异面直线
,
之间的距离”为真命题.根据上述命题,若
,
为异面直线,且它们之间的距离为
,则空间中与
,
均异面且距离也均为
的直线
的条数为( )
A.0条B.1条C.多于1条,但为有限条D.无数多条
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【题目】某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛,经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得
分,答错得
分,假设甲队中每人答对的概率均为
,乙队中
人答对的概率分別为
,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用
表示乙队的总得分.
(1)求的分布列;
(2)求甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率.
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【题目】下列四个命题中,真命题是( )
A.和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线
B.和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线
C.和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线
D.若、
是异面直线,
、
是异面直线,则
、
是异面直线
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【题目】设和
是双曲线
上的两点,线段
的中点为
,直线
不经过坐标原点
.
(1)若直线和直线
的斜率都存在且分别为
和
,求证:
;
(2)若双曲线的焦点分别为、
,点
的坐标为
,直线
的斜率为
,求由四点
、
、
、
所围成四边形
的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率
,
分别是椭圆
的左右两个顶点,圆
的半径为
,过点
作圆
的切线,切点为
,在
轴的上方交椭圆
于点
.
(1)求直线的方程;
(2)求的值;
(3)设为常数,过点
作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点
,分别交圆
于点
,记三角形
和三角
的面积分别为
.求
的最大值.
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【题目】已知函数,
,函数
,记
.把函数
的最大值
称为函数
的“线性拟合度”.
(1)设函数,
,
,求此时函数
的“线性拟合度”
;
(2)若函数,
的值域为
(
),
,求证:
;
(3)设,
,求
的值,使得函数
的“线性拟合度”
最小,并求出
的最小值.
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