【题目】如图所示,直四棱柱的侧棱
长为
,底面
是边长
的矩形,
为
的中点,
(1)求证:平面
,
(2)求异面直线与
所成的角的大小(结果用反三角函数表示).
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)先证明EC⊥ED,再利用BC⊥平面CC1D1D,证明BC⊥DE,即可证明DE⊥平面EBC;
(2)取A1B1中点F,连接BF,DF,∠FBD即为所求异面直线的夹角(或其补角),确定△FBD为各边长,根据余弦定理可求∠FBD余弦值,从而求异面直线BD与EC所成的角的大小.
(1)证明:∵直四棱柱的侧棱
长为
,
底面ABCD是边长AB=2a,BC=a的矩形,
为
的中点,
∴EC=ED=a,CD=2a,
∴EC⊥ED,
∵BC⊥平面,DE平面
,
∴BC⊥DE,
∵BC∩EC=C
∴DE⊥平面EBC.
(2)取A1B1中点F,连接BF,DF,
易得EC∥FB,
∴∠FBD即为所求异面直线的夹角(或其补角),
连接D1F,△DD1F为直角三角形,
∴,
∴,
又,
根据余弦定理,,
∴,
∴异面直线与
所成的角的大小为
.
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【题目】已知定义在实数集上的偶函数
和奇函数
满足
.
(1)求与
的解析式;
(2)求证:在区间
上单调递增;并求
在区间
的反函数;
(3)设(其中
为常数),若
对于
恒成立,求
的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥中,
平面ABCD,底面ABCD是正方形,
,E为PC上一点,当F为DC的中点时,EF平行于平面PAD.
(Ⅰ)求证:平面PCB;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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【题目】请你设计一个包装盒,是边长为
的正方形硬纸片(如图1所示),切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形,再沿虚线折起,使得
,
,
,
四个点重合于图2中的点
,正好形成一个正四棱锥形状的包装盒(如图2所示),设正四棱锥
的底面边长为
.
(1)若要求包装盒侧面积不小于
,求
的取值范围;
(2)若要求包装盒容积最大,试问
应取何值?并求出此时包装盒的容积.
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【题目】已知数列
满足
;数列
满足
;数列
为公比大于1的等比数列,且
,
为方程
的两个不相等的实根.
(1)求数列和数列
的通项公式;
(2)将数列中的第
项,第
项,第
项,……,第
项,……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列
,求数列
的前2013项和.
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【题目】已知等差数列的首项为
,公差为
,等比数列
的首项为
,公比为
,其中
,且
.
(1)求证:,并由
推导
的值;
(2)若数列共有
项,前
项的和为
,其后的
项的和为
,再其后的
项的和为
,求
的比值.
(3)若数列的前
项,前
项、前
项的和分别为
,试用含字母
的式子来表示
(即
,且不含字母
)
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