【题目】已知点.若曲线
上存在
,
两点,使
为正三角形,则称
为
型曲线.给定下列三条曲线:
①;
②;
③.
其中型曲线的个数是
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
对于①,A(-1,1)到直线y=-x+3的距离为,若直线上存在两点B,C,使△ABC为正三角形,则|AB|=|AC|=
,以A为圆心,以
为半径的圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=6,联立
解得,或
,后者小于0,所以对应的点不在曲线上,所以①不是.
对于②,化为
,图形是第二象限内的四分之一圆弧,此时连接A点与圆弧和两坐标轴交点构成的三角形顶角最小为135°,所以②不是.
对于③,根据对称性,若上存在两点B、C使ABC构成正三角形,则两点连线的斜率为1,设BC所在直线方程为x-y+m=0,由题意知A到直线距离为直线被
所截弦长的
倍,列方程解得m=-
,所以曲线③是T型线.
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【题目】设和
是双曲线
上的两点,线段
的中点为
,直线
不经过坐标原点
.
(1)若直线和直线
的斜率都存在且分别为
和
,求证:
;
(2)若双曲线的焦点分别为、
,点
的坐标为
,直线
的斜率为
,求由四点
、
、
、
所围成四边形
的面积.
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【题目】如图,在四棱锥S﹣ABCD中,SA⊥底面ABCD,底面ABCD是平行四边形,E是线段SD上一点.
(1)若E是SD的中点,求证:SB∥平面ACE;
(2)若SA=AB=AD=2,SC=2,且DE
DS,求二面角S﹣AC﹣E的余弦值.
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【题目】已知椭圆E:过点(0,1)且离心率
.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设动直线l与两定直线l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆E有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)设为曲线
上的点,
,垂足为
,若
的最小值为
,求
的值.
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【题目】设为正整数,若两个项数都不小于
的数列
,
满足:存在正数
,当
且
时,都有
,则称数列
,
是“
接近的”.已知无穷等比数列
满足
,无穷数列
的前
项和为
,
,且
,
.
(1)求数列通项公式;
(2)求证:对任意正整数,数列
,
是“
接近的”;
(3)给定正整数,数列
,
(其中
)是“
接近的”,求
的最小值,并求出此时的
(均用
表示).(参考数据:
)
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【题目】为响应绿色出行,某市在推出“共享单车”后,又推出“新能源分时租赁汽车”.其中一款新能源分时租赁汽车,每次租车收费的标准由两部分组成:①根据行驶里程数按1元/公里计费;②行驶时间不超过分时,按
元/分计费;超过
分时,超出部分按
元/分计费.已知王先生家离上班地点
公里,每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红绿灯等因素,每次路上开车花费的时间
(分)是一个随机变量.现统计了
次路上开车花费时间,在各时间段内的频数分布情况如下表所示:
时间 | ||||
频数 |
将各时间段发生的频率视为概率,每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为分.(1)写出王先生一次租车费用
(元)与用车时间
(分)的函数关系式;(2)若王先生一次开车时间不超过
分为“路段畅通”,设
表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数,求的分布列和期望.
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【题目】关于函数,给出以下四个命题:(1)当
时,
单调递减且没有最值;(2)方程
一定有实数解;(3)如果方程
(
为常数)有解,则解得个数一定是偶数;(4)
是偶函数且有最小值.其中假命题的序号是____________.
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