【题目】如图,在四棱锥S﹣ABCD中,SA⊥底面ABCD,底面ABCD是平行四边形,E是线段SD上一点.
(1)若E是SD的中点,求证:SB∥平面ACE;
(2)若SA=AB=AD=2,SC=2,且DE
DS,求二面角S﹣AC﹣E的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)由题意连结BD,交AC于点O,连结OE,可证OE∥SB,SB∥平面ACE得证;
(2)建立空间直角坐标系,求得平面SAC与平面ACE的法向量,代入公式求二面角的余弦值即可.
(1)证明:连结BD,交AC于点O,连结OE,
∵底面ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点,
∵E是SD的中点,∴OE∥SB,
∵SB平面ACE,OE平面ACE,
∴SB∥平面ACE.
(2)∵SA⊥底面ABCD,AC平面ABCD,
∴SA⊥AC,
在Rt△SAC中,SA=2,SC=2,
∴AC=2,
∵AB=AD=2,
∴△ABC,△ACD都是等边三角形,
∴BD=2,
以O为原点,OD为x轴,OA为y轴,过O作AS的平行线为z轴,建立空间直角坐标系,
O(0,0,0),D(,0,0),A(0,1,0),S(0,1,2),
(
,1,2),
(
,
),
(
),
∵BD⊥平面SAC,取平面SAC的一个法向量(
),
设平面ACE的法向量(x,y,z),
则,取x=4,得
(4,0,
),
设二面角S﹣AC﹣E的平面角为θ,
则cosθ.
∴二面角S﹣AC﹣E的余弦值为.
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【题目】已知直线是双曲线
的一条渐近线,点
都在双曲线
上,直线
与
轴相交于点
,设坐标原点为
.
(1)求双曲线的方程,并求出点
的坐标(用
表示);
(2)设点关于
轴的对称点为
,直线
与
轴相交于点
.问:在
轴上是否存在定点
,使得
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若过点的直线
与双曲线
交于
两点,且
,试求直线
的方程.
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【题目】如图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图(例如:第3季度内,洗衣机销量约占,电视机销量约占
,电冰箱销量约占
).根据该图,以下结论中一定正确的是( )
A. 电视机销量最大的是第4季度
B. 电冰箱销量最小的是第4季度
C. 电视机的全年销量最大
D. 电冰箱的全年销量最大
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【题目】按照如下规则构造数表:第一行是:2;第二行是:;即3,5,第三行是:
即4,6,6,8;
(即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出,再各项加3写出)
2
3,5
4,6,6,8
5,7,7,9,7,9,9,11
……………………………………
若第行所有的项的和为
.
(1)求;
(2)试求与
的递推关系,并据此求出数列
的通项公式;
(3)设,求
和
的值.
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【题目】如图,四边形为矩形,
,
,
为线段
上的动点.
(1)若为线段
的中点,求证:
平面
;
(2)若三棱锥的体积记为
,四棱锥
的体积记为
,当
时,求二面角
的余弦值.
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【题目】已知直线是双曲线
的一条渐近线,点
都在双曲线
上,直线
与
轴相交于点
,设坐标原点为
.
(1)求双曲线的方程,并求出点
的坐标(用
表示);
(2)设点关于
轴的对称点为
,直线
与
轴相交于点
.问:在
轴上是否存在定点
,使得
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若过点的直线
与双曲线
交于
两点,且
,试求直线
的方程.
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