【题目】已知直线是双曲线
的一条渐近线,点
都在双曲线
上,直线
与
轴相交于点
,设坐标原点为
.
(1)求双曲线的方程,并求出点
的坐标(用
表示);
(2)设点关于
轴的对称点为
,直线
与
轴相交于点
.问:在
轴上是否存在定点
,使得
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若过点的直线
与双曲线
交于
两点,且
,试求直线
的方程.
【答案】(1);
(2)存在定点
,其坐标为
或
(3)
【解析】
(1)求得双曲线的渐近线方程,可得,由题意可得
,
,可得双曲线的方程,求出直线
的方程,可令
,求得
的坐标;(2)求得对称点
的坐标,直线
方程,令
,可得
的坐标,假设存在
,运用两直线垂直的条件:斜率之积为
,结合
在双曲线上,化简整理,即可得到定点
;(3)设出直线
的方程,代入双曲线的方程,运用韦达定理,由向量数量积的性质,可得向量
,
的数量积为0,化简整理,解方程可得
的值,检验判别式大于0成立,进而得到直线
的方程.
解:(1)由已知,得,故双曲线
的方程为
为直线AM的一个方向向量,
直线AM的方程为
它与
轴的交点为
(2)由条件,得且
为直线AN的一个方向向量,
故直线AN的方程为它与
轴的交点为
假设在轴上存在定点
,使得
,则
由及
得
故即存在定点
,其坐标为
或
满足题设条件.
(3)由知,以
为邻边的平行四边形的对角线的长相等,故此四边形为矩形,从而
由已知,可设直线的方程为
并设
则由得
由及
得
且
(*)
由
得
故符合约束条件(*).
因此,所求直线的方程为
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【题目】如图,在四棱锥S﹣ABCD中,SA⊥底面ABCD,底面ABCD是平行四边形,E是线段SD上一点.
(1)若E是SD的中点,求证:SB∥平面ACE;
(2)若SA=AB=AD=2,SC=2,且DE
DS,求二面角S﹣AC﹣E的余弦值.
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【题目】设为正整数,若两个项数都不小于
的数列
,
满足:存在正数
,当
且
时,都有
,则称数列
,
是“
接近的”.已知无穷等比数列
满足
,无穷数列
的前
项和为
,
,且
,
.
(1)求数列通项公式;
(2)求证:对任意正整数,数列
,
是“
接近的”;
(3)给定正整数,数列
,
(其中
)是“
接近的”,求
的最小值,并求出此时的
(均用
表示).(参考数据:
)
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【题目】为响应绿色出行,某市在推出“共享单车”后,又推出“新能源分时租赁汽车”.其中一款新能源分时租赁汽车,每次租车收费的标准由两部分组成:①根据行驶里程数按1元/公里计费;②行驶时间不超过分时,按
元/分计费;超过
分时,超出部分按
元/分计费.已知王先生家离上班地点
公里,每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红绿灯等因素,每次路上开车花费的时间
(分)是一个随机变量.现统计了
次路上开车花费时间,在各时间段内的频数分布情况如下表所示:
时间 | ||||
频数 |
将各时间段发生的频率视为概率,每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为分.(1)写出王先生一次租车费用
(元)与用车时间
(分)的函数关系式;(2)若王先生一次开车时间不超过
分为“路段畅通”,设
表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数,求的分布列和期望.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,短轴两个端点为
,且四边形
是边长为2的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
上一点,
为椭圆长轴上一点,求
的最大值与最小值;
(3)设是椭圆
外的动点,满足
,点
是线段
与该椭圆的交点,点
在线段
上,并且满足
,
,求点
的轨迹方程.
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【题目】设点分别是棱长为2的正方体
的棱
的中点.如图,以
为坐标原点,射线
、
、
分别是
轴、
轴、
轴的正半轴,建立空间直角坐标系.
(1)求向量与
的数量积;
(2)若点分别是线段
与线段
上的点,问是否存在直线
,
平面
?若存在,求点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知数列的通项公式为
,其中
,
、
.
(1)试写出一组、
的值,使得数列
中的各项均为正数.
(2)若,
,数列
满足
,且对任意的
(
),均有
,写出所有满足条件的
的值.
(3)若,数列
满足
,其前
项和为
,且使
(
、
,
)的
和
有且仅有
组,
、
、…、
中有至少
个连续项的值相等,其它项的值均不相等,求
、
的最小值.
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【题目】关于函数,给出以下四个命题:(1)当
时,
单调递减且没有最值;(2)方程
一定有实数解;(3)如果方程
(
为常数)有解,则解得个数一定是偶数;(4)
是偶函数且有最小值.其中假命题的序号是____________.
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【题目】设数列的前
项和为
,且
.
(1)求出,
,
的值,并求出
及数列
的通项公式;
(2)设,求数列
的前
项和
;
(3)设,在数列
中取出
(
且
)项,按照原来的顺序排列成一列,构成等比数列
,若对任意的数列
,均有
,试求
的最小值.
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