【题目】设数列的前
项和为
,且
.
(1)求出,
,
的值,并求出
及数列
的通项公式;
(2)设,求数列
的前
项和
;
(3)设,在数列
中取出
(
且
)项,按照原来的顺序排列成一列,构成等比数列
,若对任意的数列
,均有
,试求
的最小值.
【答案】(1),
,
,
.
;(2)
(3)2
【解析】
(1)利用及
整理可知
,通过计算出前三项的值,利用归纳推理猜想
,进而利用数学归纳法证明即可;
(2)通过(1)裂项可知,进而分
为奇数、偶数两种情况讨论即可;
(3)通过(1)可知,进而问题转化为求首项为1、公比为
的等比数列的前
项和.
解:(1)∵,
∴,即
,
又∵,即
,
∴,
,
…
猜想:.
下面用数学归纳法来证明:
①当时,命题成立;
②假设当时,有
,
则,
即当时,命题也成立;
由①②可知.
∴,
又∵满足上式,
∴数列的通项公式
;
(2)由(1)可知,,
特别地,当为奇数时,
为偶数,此时
,
①若为偶数,则
;
②当为奇数且
时,
,
故,
又∵满足上式,
∴当为奇数时,
;
由①②可知: ;
(3)由(1)可知,
∴,
由题意可知需等比数列的首项及公比均达到最大,显然首项为1公比为
,
∴,
∵,
∴的最小值为2.
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【题目】已知直线是双曲线
的一条渐近线,点
都在双曲线
上,直线
与
轴相交于点
,设坐标原点为
.
(1)求双曲线的方程,并求出点
的坐标(用
表示);
(2)设点关于
轴的对称点为
,直线
与
轴相交于点
.问:在
轴上是否存在定点
,使得
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若过点的直线
与双曲线
交于
两点,且
,试求直线
的方程.
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【题目】已知.
(1)当时,解不等式
;
(2)若关于的方程
的解集中恰好有一个元素,求实数
的值;
(3)设,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过
,求
的取值范围.
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【题目】已知命题:“若,
为异面直线,平面
过直线
且与直线
平行,则直线
与平面
的距离等于异面直线
,
之间的距离”为真命题.根据上述命题,若
,
为异面直线,且它们之间的距离为
,则空间中与
,
均异面且距离也均为
的直线
的条数为( )
A.0条B.1条C.多于1条,但为有限条D.无数多条
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【题目】设,
,其中m是不等于零的常数,
(1)时,直接写出
的值域;
(2)求的单调递增区间;
(3)已知函数(
),定义:
(
),
(
).其中,
表示函数
在D上的最小值,
表示函数
在D上的最大值.例如:
,
,则
,
,
,
.当
时,设
,不等式
恒成立,求t,n的取值范围;
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【题目】过抛物线的焦点为F且斜率为k的直线l交曲线C于
、
两点,交圆
于M,N两点(A,M两点相邻).
(1)求证:为定值;
(2)过A,B两点分别作曲线C的切线,
,两切线交于点P,求
与
面积之积的最小值.
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【题目】如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①、②、③)三个区域面积彼此相等.(已知:椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆面积为
)
(1)求椭圆的离心率的值;
(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M的轨迹方程.
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【题目】将函数的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象,
分别是
的极值点,且有
,则函数
( )
A.在区间上单调递增B.在区间
上单调递增
C.在区间上单调递减D.在区间
上单调递减
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