【题目】已知数列的通项公式为
,其中
,
、
.
(1)试写出一组、
的值,使得数列
中的各项均为正数.
(2)若,
,数列
满足
,且对任意的
(
),均有
,写出所有满足条件的
的值.
(3)若,数列
满足
,其前
项和为
,且使
(
、
,
)的
和
有且仅有
组,
、
、…、
中有至少
个连续项的值相等,其它项的值均不相等,求
、
的最小值.
【答案】(1) 、
(答案不唯一).(2) 7,8,9,10,11.(3)
的最小值为
.
的最小值为
【解析】
(1)只要均小于1即可;
(2)利用对勾函数的单调性分类讨论,注意
的取值只能是正整数.
(3),且
,求出
因为,只有四组
,利用二次函数的性质得
,进一步得
,
的四个值为
,
,
,
,因此,
的最小值为
.再由
中有至少
个连续项的值相等,其它项的值均不相等,则
中接着至少有两个0,从而可得
的最小值.
(1)、
(答案不唯一).
(2)由题设,.
当,
单调递增,不合题意,
时,
,
在
时单调递增,不合题意,因此,
.
当时,对于
,当
时,
单调递减;当
时,
单调递增.
由题设,有,
.
于是由及
,可解得
.
因此,的值为7,8,9,10,11.
(3)因为,且
,
所以
因为(
、
,
),所以
、
.
于是由,可得
,进一步得
,
此时,的四个值为
,
,
,
,因此,
的最小值为
.
又、
、…、
中有至少
个连续项的值相等,其它项的值均不相等,不妨设
,于是有
,因为当
时,
,所以
,
因此,,即
的最小值为
.
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【题目】如图,四边形为矩形,
,
,
为线段
上的动点.
(1)若为线段
的中点,求证:
平面
;
(2)若三棱锥的体积记为
,四棱锥
的体积记为
,当
时,求二面角
的余弦值.
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【题目】已知直线是双曲线
的一条渐近线,点
都在双曲线
上,直线
与
轴相交于点
,设坐标原点为
.
(1)求双曲线的方程,并求出点
的坐标(用
表示);
(2)设点关于
轴的对称点为
,直线
与
轴相交于点
.问:在
轴上是否存在定点
,使得
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若过点的直线
与双曲线
交于
两点,且
,试求直线
的方程.
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【题目】已知函数,若在区间
内有且只有一个实数
,使得
成立,则称函数
在区间
内具有唯一零点.
(1)判断函数在区间
内是否具有唯一零点,说明理由:
(2)已知向量,
,
,证明
在区间
内具有唯一零点.
(3)若函数在区间
内具有唯一零点,求实数
的取值范围.
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【题目】已知数列的通项公式为
,其中
且
.
(1)若是正项数列,求
的取值范围;
(2)若,数列
满足
,且对任意
,均有
,写出所有满足条件的
的值;
(3)若,数列
满足
,其前n项和为
,且使
的i和j至少4组,
、
、……、
中至少有5个连续项的值相等,其它项的值均不相等,求
,
满足的充要条件并加以证明.
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【题目】如图, 是边长为
的正方形,平面
平面
,
,
,
,
.
(1)求证:面面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在点
,使得二面角
的大小为
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知.
(1)当时,解不等式
;
(2)若关于的方程
的解集中恰好有一个元素,求实数
的值;
(3)设,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过
,求
的取值范围.
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【题目】如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①、②、③)三个区域面积彼此相等.(已知:椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆面积为
)
(1)求椭圆的离心率的值;
(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M的轨迹方程.
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