【题目】已知函数,若在区间
内有且只有一个实数
,使得
成立,则称函数
在区间
内具有唯一零点.
(1)判断函数在区间
内是否具有唯一零点,说明理由:
(2)已知向量,
,
,证明
在区间
内具有唯一零点.
(3)若函数在区间
内具有唯一零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)是,详见解析(2)证明见解析(3)
【解析】
(1)利用分段函数,分类讨论函数的单调性,从而得出结论;
(2)两个向量的数量积共公式以及三角恒等变换,化简的解析式,再利用正弦函数的性质得出结论;
(3)利用二次函数的性质,分类讨论,求得的范围.
(1)函数在区间
内具有唯一零点,理由如下:
当时,有
,且当
时,有
;
当时,
是增函数,有
,
故函数在区间
内具有唯一零点.
(2)由向量,
,
,
所以,
,
令,
,解得
,
所以函数在区间
内具有唯一零点
,使得
,
故函数在区间
内具有唯一零点.
(3)由函数在区间
内具有唯一零点,该二次函数的对称轴为
,
①当,即
时,函数
在区间
是增函数,
只需,即
,解得
,
所以实数的取值范围为
.
②当,即
时,若使函数
在区间
内具有零点,
则,解得
或
,
所以,,
i当时,函数
在区间
内具有唯一零点
,即
,符合题意,
ii当时,若使函数
在区间
内具有唯一零点,只需
,
即,解得
,
所以实数的取值范围为
或
.
③当,即
时,函数
在区间
是减函数,
当时,只需
,即
,解得
,
当时,令
,解得
,
所以函数在区间
上具有唯一零点
,符合题意,
所以实数的取值范围为
.
综上所述:实数的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】所谓声强,是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度,用I表示,人类能听到的声强范围很广,其中能听见的1000Hz声音的声强(约10﹣12W/m2)为标准声强,记作I0,声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级,记作L,即L=lg,声强级L的单位名称为贝(尔),符号为B,取贝(尔)的十分之一作为响度的常用单位,称为分贝(尔).简称分贝(dB).《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事,设张飞大喝一声的响度为140dB.一个士兵大喝一声的响度为90dB,如果一群士兵同时大喝一声相当一张飞大喝一声的响度,那么这群土兵的人数为( )
A.1万B.2万C.5万D.10万
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列满足:
,
,且
.
(1)求数列前20项的和
;
(2)求通项公式;
(3)设的前
项和为
,问:是否存在正整数
、
,使得
?若存在,请求出所有符合条件的正整数对
,若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,短轴两个端点为
,且四边形
是边长为2的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
上一点,
为椭圆长轴上一点,求
的最大值与最小值;
(3)设是椭圆
外的动点,满足
,点
是线段
与该椭圆的交点,点
在线段
上,并且满足
,
,求点
的轨迹方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,小凳凳面为圆形,凳脚为三根细钢管.考虑到钢管的受力等因素,设计的小凳应满足:三根细钢管相交处的节点与凳面圆形的圆心
的连线垂直于凳面和地面,且
分细钢管上下两段的比值为
,三只凳脚与地面所成的角均为
.若
、
、
是凳面圆周的三等分点,
厘米,求凳子的高度
及三根细钢管的总长度(精确到
).
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列的通项公式为
,其中
,
、
.
(1)试写出一组、
的值,使得数列
中的各项均为正数.
(2)若,
,数列
满足
,且对任意的
(
),均有
,写出所有满足条件的
的值.
(3)若,数列
满足
,其前
项和为
,且使
(
、
,
)的
和
有且仅有
组,
、
、…、
中有至少
个连续项的值相等,其它项的值均不相等,求
、
的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,A、B是海岸线OM、ON上两个码头,海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为、
,测得
,
,以点O为坐标原点,射线OM为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系,一艘游轮以
小时的平均速度在水上旅游线AB航行(将航线AB看作直线,码头Q在第一象限,航线BB经过点Q).
(1)问游轮自码头A沿方向开往码头B共需多少分钟?
(2)海中有一处景点P(设点P在平面内,
,且
),游轮无法靠近,求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知无穷数列的前
项和为
,且满足
,其中
、
、
是常数.
(1)若,
,
,求数列
的通项公式;
(2)若,
,
,且
,求数列
的前
项和
;
(3)试探究、
、
满足什么条件时,数列
是公比不为
的等比数列.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】福彩是利国利民游戏,其刮刮乐之《蓝色奇迹》:如图(1)示例,刮开票面看到最左侧一列四个两位数字为“我的号码”,最上行四个两位数为“中奖号码”,这八个两位数是00至99这一百个数字随机产生的,若两个数字相同即中得其相交线上的奖金,奖金可以累加.小明买的一张《蓝色奇迹》刮刮乐如图(2),除了一个“我的号码”外,他已经刮开票面上其它所有数字,依据目前的信息,小明从这张刮刮乐得到的奖金额高于600元的概率为(无所得税)( )
图(1) 图(2)
A.B.
C.
D.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com