【题目】已知数列满足:
,
,且
.
(1)求数列前20项的和
;
(2)求通项公式;
(3)设的前
项和为
,问:是否存在正整数
、
,使得
?若存在,请求出所有符合条件的正整数对
,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)所有的符号条件的正整数对
,有且仅有
和
两对,理由见解析.
【解析】
(1)根据递推公式直接代入求出各项,再分类求和即可.
(2)对根据
的奇偶性进行分类讨论,判断出数列的性质,最后求出数列
的通项公式.
(3)根据分组求和法求出的表达式,然后根据
可以求出
的表达式,最后根据题意
,得到
的表达式,可以确定
的取值范围,然后根据
的取值范围,逐一取正整数进行判断即可.
(1)
(2)当是奇数时,
;当
是偶数时,
.所以,当
是奇数时,
;当
是偶数时,
.
又,
,所以
是首项为1,公差为2的等差数列;
是首项为2,公比为3的等比数列.
因此,
(3)
,
.
所以,若存在正整数、
,使得
,则
.
显然,当时,
;
当时,由
,整理得
.显然,当
时,
;当
时,
,
所以是符合条件的一个解.
当时,
.
当时,由
,整理得
,所以
是符合条件的另一个解.
综上所述,所有的符号条件的正整数对,有且仅有
和
两对.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知直线与抛物线
(
)交于
、
两点,
为坐标原点,
.
(1)求直线的方程和抛物线
的方程;
(2)若抛物线上一动点
从
到
运动时(
不与
、
重合),求
面积的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)射线与曲线
分别交于
两点(异于原点
),定点
,求
的面积.
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【题目】已知数列.如果数列
满足
,
,其中
,则称
为
的“衍生数列”.
(Ⅰ)若数列的“衍生数列”是
,求
;
(Ⅱ)若为偶数,且
的“衍生数列”是
,证明:
的“衍生数列”是
;
(Ⅲ)若为奇数,且
的“衍生数列”是
,
的“衍生数列”是
,….依次将数列
,
,
,…的第
项取出,构成数列
.证明:
是等差数列.
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【题目】在下列向量组中,可以把向量=(3,2)表示出来的是( )
A. =(0,0),
=(1,2)B.
=(-1,2),
=(5,-2)
C. =(3,5),
=(6,10)D.
=(2,-3),
=(-2,3)
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【题目】已知函数,若在区间
内有且只有一个实数
,使得
成立,则称函数
在区间
内具有唯一零点.
(1)判断函数在区间
内是否具有唯一零点,说明理由:
(2)已知向量,
,
,证明
在区间
内具有唯一零点.
(3)若函数在区间
内具有唯一零点,求实数
的取值范围.
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【题目】已知曲线C的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,过极点的两直线l1,l2相互垂直,与曲线C分别相交于A,B两点(不同于点O),且l1的倾斜角为
.
(1)求曲线C的极坐标方程和直线l2的直角坐标方程;
(2)求△OAB的面积.
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