【题目】已知数列.如果数列
满足
,
,其中
,则称
为
的“衍生数列”.
(Ⅰ)若数列的“衍生数列”是
,求
;
(Ⅱ)若为偶数,且
的“衍生数列”是
,证明:
的“衍生数列”是
;
(Ⅲ)若为奇数,且
的“衍生数列”是
,
的“衍生数列”是
,….依次将数列
,
,
,…的第
项取出,构成数列
.证明:
是等差数列.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析
【解析】
(Ⅰ)根据定义可以得到关于的方程组,解这个方程组可得
.
(Ⅱ)我们可以先计算及
,于是我们猜测
,用数学归纳法可以证明这个结论.最后再去证明
的“衍生数列”就是
.我们也可以对
,
进行代数变形得到
,再根据
得到数列
是
的“衍生数列”.
(Ⅲ)设数列中后者是前者的“衍生数列”,要证
是等差数列,可证
成等差数列,由(Ⅱ)中的证明可知
,
,代数变形后根据
为奇数可以得到
.也可以利用(Ⅱ)中的代数变形方法得到
,从而得到
, 即
成等差数列,再根据
得到
成等差数列.
(Ⅰ)解:因为,所以
,
又,所以
,
,故
,同理有
,因此
,
,所以
.
(Ⅱ)证法一:
证明:由已知, ,
.
因此,猜想.
① 当时,
,猜想成立;
② 假设时,
.
当时,
故当时猜想也成立.
由 ①、② 可知,对于任意正整数,有
.
设数列 的“衍生数列”为
,则由以上结论可知
,其中
.
由于为偶数,所以
,
所以,其中
.
因此,数列即是数列
.
证法二:
因为 ,
,
,
……
,
由于为偶数,将上述
个等式中的第
这
个式子都乘以
,相加得
即
,
由于,
,
根据“衍生数列”的定义知,数列是
的“衍生数列”.
(Ⅲ)证法一:
证明:设数列中后者是前者的“衍生数列”.欲证
成等差数列,只需证明
成等差数列,即只要证明
即可.
由(Ⅱ)中结论可知,
,
所以,,即
成等差数列,
所以是等差数列.
证法二:
因为,
所以.
所以欲证成等差数列,只需证明
成等差数列即可.
对于数列及其“衍生数列”
,
因为 ,
,
,
……
,
由于为奇数数,将上述
个等式中的第
这
个式子都乘以
,相加得
即
,
设数列的“衍生数列”为
,
因为,
所以, 即
成等差数列.
同理可证,也成等差数列.
即是等差数列.所以
成等差数列.
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【题目】某地拟建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓如图所示,曲线是以点
为圆心的圆的一部分,其中
;曲线
是抛物线
的一部分;
,且
恰好等于圆
的半径.假定拟建体育馆的高
(单位:米,下同).
(1)若,
,求
、
的长度;
(2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过
米,求
的取值范围;
(3)若,求
的最大值.
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【题目】所谓声强,是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度,用I表示,人类能听到的声强范围很广,其中能听见的1000Hz声音的声强(约10﹣12W/m2)为标准声强,记作I0,声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级,记作L,即L=lg,声强级L的单位名称为贝(尔),符号为B,取贝(尔)的十分之一作为响度的常用单位,称为分贝(尔).简称分贝(dB).《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事,设张飞大喝一声的响度为140dB.一个士兵大喝一声的响度为90dB,如果一群士兵同时大喝一声相当一张飞大喝一声的响度,那么这群土兵的人数为( )
A.1万B.2万C.5万D.10万
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)设为曲线
上的点,
,垂足为
,若
的最小值为
,求
的值.
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【题目】已知数列.如果数列
满足
,
,其中
,则称
为
的“衍生数列”.
(Ⅰ)若数列的“衍生数列”是
,求
;
(Ⅱ)若为偶数,且
的“衍生数列”是
,证明:
的“衍生数列”是
;
(Ⅲ)若为奇数,且
的“衍生数列”是
,
的“衍生数列”是
,….依次将数列
,
,
,…的第
项取出,构成数列
.证明:
是等差数列.
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【题目】设为正整数,若两个项数都不小于
的数列
,
满足:存在正数
,当
且
时,都有
,则称数列
,
是“
接近的”.已知无穷等比数列
满足
,无穷数列
的前
项和为
,
,且
,
.
(1)求数列通项公式;
(2)求证:对任意正整数,数列
,
是“
接近的”;
(3)给定正整数,数列
,
(其中
)是“
接近的”,求
的最小值,并求出此时的
(均用
表示).(参考数据:
)
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【题目】已知数列满足:
,
,且
.
(1)求数列前20项的和
;
(2)求通项公式;
(3)设的前
项和为
,问:是否存在正整数
、
,使得
?若存在,请求出所有符合条件的正整数对
,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,短轴两个端点为
,且四边形
是边长为2的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
上一点,
为椭圆长轴上一点,求
的最大值与最小值;
(3)设是椭圆
外的动点,满足
,点
是线段
与该椭圆的交点,点
在线段
上,并且满足
,
,求点
的轨迹方程.
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【题目】已知无穷数列的前
项和为
,且满足
,其中
、
、
是常数.
(1)若,
,
,求数列
的通项公式;
(2)若,
,
,且
,求数列
的前
项和
;
(3)试探究、
、
满足什么条件时,数列
是公比不为
的等比数列.
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