【题目】已知数列.如果数列
满足
,
,其中
,则称
为
的“衍生数列”.
(Ⅰ)若数列的“衍生数列”是
,求
;
(Ⅱ)若为偶数,且
的“衍生数列”是
,证明:
的“衍生数列”是
;
(Ⅲ)若为奇数,且
的“衍生数列”是
,
的“衍生数列”是
,….依次将数列
,
,
,…的第
项取出,构成数列
.证明:
是等差数列.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析
【解析】
(Ⅰ)根据定义可以得到关于的方程组,解这个方程组可得
.
(Ⅱ)我们可以先计算及
,于是我们猜测
,用数学归纳法可以证明这个结论.最后再去证明
的“衍生数列”就是
.我们也可以对
,
进行代数变形得到
,再根据
得到数列
是
的“衍生数列”.
(Ⅲ)设数列中后者是前者的“衍生数列”,要证
是等差数列,可证
成等差数列,由(Ⅱ)中的证明可知
,
,代数变形后根据
为奇数可以得到
.也可以利用(Ⅱ)中的代数变形方法得到
,从而得到
, 即
成等差数列,再根据
得到
成等差数列.
(Ⅰ)解:因为,所以
,
又,所以
,
,故
,同理有
,因此
,
,所以
.
(Ⅱ)证法一:
证明:由已知, ,
.
因此,猜想.
① 当时,
,猜想成立;
② 假设时,
.
当时,
故当时猜想也成立.
由 ①、② 可知,对于任意正整数,有
.
设数列 的“衍生数列”为
,则由以上结论可知
,其中
.
由于为偶数,所以
,
所以,其中
.
因此,数列即是数列
.
证法二:
因为 ,
,
,
……
,
由于为偶数,将上述
个等式中的第
这
个式子都乘以
,相加得
即
,
由于,
,
根据“衍生数列”的定义知,数列是
的“衍生数列”.
(Ⅲ)证法一:
证明:设数列中后者是前者的“衍生数列”.欲证
成等差数列,只需证明
成等差数列,即只要证明
即可.
由(Ⅱ)中结论可知,
,
所以,,即
成等差数列,
所以是等差数列.
证法二:
因为,
所以.
所以欲证成等差数列,只需证明
成等差数列即可.
对于数列及其“衍生数列”
,
因为 ,
,
,
……
,
由于为奇数数,将上述
个等式中的第
这
个式子都乘以
,相加得
即
,
设数列的“衍生数列”为
,
因为,
所以, 即
成等差数列.
同理可证,也成等差数列.
即是等差数列.所以
成等差数列.
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【题目】下列四个命题中,真命题是( )
A.和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线
B.和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线
C.和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线
D.若、
是异面直线,
、
是异面直线,则
、
是异面直线
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【题目】已知椭圆E:(a>b>0)的离心率e
.
(1)若点P(1,)在椭圆E上,求椭圆E的标准方程;
(2)若D(2,0)在椭圆内部,过点D斜率为的直线交椭圆E于M.N两点,|MD|=2|ND|,求椭圆E的方程.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)射线与曲线
分别交于
两点(异于原点
),定点
,求
的面积.
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【题目】先阅读参考材料,再解决此问题:
参考材料:求抛物线弧(
)与x轴及直线
所围成的封闭图形的面积
解:把区间进行n等分,得
个分点
(
),过分点
,作x轴的垂线,交抛物线于
,并如图构造
个矩形,先求出
个矩形的面积和
,再求
,即是封闭图形的面积,又每个矩形的宽为
,第i个矩形的高为
,所以第i个矩形的面积为
;
所以封闭图形的面积为
阅读以上材料,并解决此问题:已知对任意大于4的正整数n,
不等式恒成立,
则实数a的取值范围为______
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【题目】已知数列.如果数列
满足
,
,其中
,则称
为
的“衍生数列”.
(Ⅰ)若数列的“衍生数列”是
,求
;
(Ⅱ)若为偶数,且
的“衍生数列”是
,证明:
的“衍生数列”是
;
(Ⅲ)若为奇数,且
的“衍生数列”是
,
的“衍生数列”是
,….依次将数列
,
,
,…的第
项取出,构成数列
.证明:
是等差数列.
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【题目】在下列向量组中,可以把向量=(3,2)表示出来的是( )
A. =(0,0),
=(1,2)B.
=(-1,2),
=(5,-2)
C. =(3,5),
=(6,10)D.
=(2,-3),
=(-2,3)
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【题目】设是数列
的前
项和,对任意
都有
成立(其中
是常数).
(1)当时,求
:
(2)当时,
①若,求数列
的通项公式:
②设数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“
数列”,如果
,试问:是否存在数列
为“
数列”,使得对任意
,都有
,且
,若存在,求数列
的首项
的所有取值构成的集合;若不存在.说明理由.
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