【题目】已知椭圆E:(a>b>0)的离心率e.
(1)若点P(1,)在椭圆E上,求椭圆E的标准方程;
(2)若D(2,0)在椭圆内部,过点D斜率为的直线交椭圆E于M.N两点,|MD|=2|ND|,求椭圆E的方程.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)因为,所以,则,所以,将P(1,)代入方程,得b2=1,所以a2=4,可得椭圆方程;
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),设y1<y2,因为,所以椭圆的方程为,MN的直线方程为x2,联立求解韦达定理,结合条件|MD|=2|ND|,可得y1=﹣2y2,所以解得,,代入根与系数关系,得b2=3,a2=12,求得椭圆E的方程.
(1)因为,所以,则,所以,
将P(1,)代入方程,得b2=1,所以a2=4,
所以椭圆E的标准方程为;
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),不妨设y1<y2,
因为,所以椭圆的方程为,MN的直线方程为x2,
联立,得,16y2+8y+12﹣12b2=0,
所以y1+y2,y1y2①.
因为|MD|=2|ND|,即y1=﹣2y2,所以,,
代入①,得b2=3,a2=12,
所以椭圆E的方程为.
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【题目】下列命题是真命题的是( )
A.有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B.正四面体是四棱锥
C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体叫做棱锥
D.正四棱柱是平行六面体
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【题目】已知点,是圆上的一个动点,为圆心,线段的垂直平分线与直线的交点为.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设与轴的正半轴交于点,直线与交于两点(不经过点),且,证明:直线经过定点,并写出该定点的坐标.
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【题目】按照如下规则构造数表:第一行是:2;第二行是:;即3,5,第三行是:即4,6,6,8;(即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出,再各项加3写出)
2
3,5
4,6,6,8
5,7,7,9,7,9,9,11
……………………………………
若第行所有的项的和为.
(1)求;
(2)试求与的递推关系,并据此求出数列的通项公式;
(3)设,求和的值.
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【题目】已知抛物线C:x2=2py(p>0),直线l1:y=kx+t与抛物线C交于A,B两点(A点在B点右侧),直线l2:y=kx+m(m≠t)交抛物线C于M,N两点(M点在N点右侧),直线AM与直线BN交于点E,交点E的横坐标为2k,则抛物线C的方程为( )
A.x2=yB.x2=2yC.x2=3yD.x2=4y
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【题目】所谓声强,是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度,用I表示,人类能听到的声强范围很广,其中能听见的1000Hz声音的声强(约10﹣12W/m2)为标准声强,记作I0,声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级,记作L,即L=lg,声强级L的单位名称为贝(尔),符号为B,取贝(尔)的十分之一作为响度的常用单位,称为分贝(尔).简称分贝(dB).《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事,设张飞大喝一声的响度为140dB.一个士兵大喝一声的响度为90dB,如果一群士兵同时大喝一声相当一张飞大喝一声的响度,那么这群土兵的人数为( )
A.1万B.2万C.5万D.10万
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【题目】已知数列.如果数列满足, ,其中,则称为的“衍生数列”.
(Ⅰ)若数列的“衍生数列”是,求;
(Ⅱ)若为偶数,且的“衍生数列”是,证明:的“衍生数列”是;
(Ⅲ)若为奇数,且的“衍生数列”是,的“衍生数列”是,….依次将数列,,,…的第项取出,构成数列 .证明:是等差数列.
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【题目】如图,小凳凳面为圆形,凳脚为三根细钢管.考虑到钢管的受力等因素,设计的小凳应满足:三根细钢管相交处的节点与凳面圆形的圆心的连线垂直于凳面和地面,且分细钢管上下两段的比值为,三只凳脚与地面所成的角均为.若、、是凳面圆周的三等分点,厘米,求凳子的高度及三根细钢管的总长度(精确到).
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