【题目】某地拟建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓如图所示,曲线是以点
为圆心的圆的一部分,其中
;曲线
是抛物线
的一部分;
,且
恰好等于圆
的半径.假定拟建体育馆的高
(单位:米,下同).
(1)若,
,求
、
的长度;
(2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过
米,求
的取值范围;
(3)若,求
的最大值.
【答案】(1),
;(2)
;(3)
米.
【解析】
(1)由可求出
的长,在抛物线方程中,令
,可求出
的长,在圆
的方程中,令
,可求出
的长,相加即可得出
的长;
(2)问题转化为恒成立,根据基本不等式解出即可;
(3)先求得,在圆
的方程中,令
,可得出
,从而得出
,令
,将问题转化为求函数
在
上的最大值.
法一:令,
,利用三角函数知识可求出
的最大值;
法二:令,
,将问题转化为已知
,求
的最大值,利用数形结合思想可求出
的最大值.
(1)因为圆的半径为
,所以
米,
在中令
,得
在圆中,令
得
,
所以米;
(2)由圆的半径为
,得
在中,令
,得
,
由题意知对
恒成立,所以
恒成立.
当时,即当
时,
取得最小值
,故
,解得
.
因此,实数的取值范围是
;
(3)当时,
又圆的方程为
,令
,得
,
所以,从而
下求的最大值.
方法一:令,
,
则,
其中是锐角,且
,从而当
时,
取得最大值
;
方法二:令,
,则题意相当于:已知
,求
的最大值.
当直线与圆弧
相切时,直线
在
轴上的截距最大,此时
取最大值,且有
,
,解得
,
因此,的最大值为
答:当米时,
的最大值为
米.
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【题目】已知椭圆C:(
)的焦距为
,且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形.若直线l与椭圆C交于
、
,且在椭圆C上存在点M,使得:
(其中O为坐标原点),则称直线l具有性质H.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l垂直于x轴,且具有性质H,求直线l的方程;
(3)求证:在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R,使得直线、
、
都具有性质H.
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【题目】已知,函数
.
(1)若,证明:函数
在区间
上是单调增函数;
(2)求函数在区间
上的最大值;
(3)若函数的图像过原点,且
的导数
,当
时,函数
过点
的切线至少有2条,求实数
的值.
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【题目】李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”.某创客,白手起家,2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的
,每月的生活费等开支为3000元,余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.
(1)问到2015年年底(按照12个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元)
(2)如果银行贷款的年利率为,问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款?
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【题目】下列四个命题中,真命题是( )
A.和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线
B.和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线
C.和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线
D.若、
是异面直线,
、
是异面直线,则
、
是异面直线
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【题目】如图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图(例如:第3季度内,洗衣机销量约占,电视机销量约占
,电冰箱销量约占
).根据该图,以下结论中一定正确的是( )
A. 电视机销量最大的是第4季度
B. 电冰箱销量最小的是第4季度
C. 电视机的全年销量最大
D. 电冰箱的全年销量最大
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【题目】如图,已知直线与抛物线
(
)交于
、
两点,
为坐标原点,
.
(1)求直线的方程和抛物线
的方程;
(2)若抛物线上一动点
从
到
运动时(
不与
、
重合),求
面积的最大值.
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【题目】按照如下规则构造数表:第一行是:2;第二行是:;即3,5,第三行是:
即4,6,6,8;
(即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出,再各项加3写出)
2
3,5
4,6,6,8
5,7,7,9,7,9,9,11
……………………………………
若第行所有的项的和为
.
(1)求;
(2)试求与
的递推关系,并据此求出数列
的通项公式;
(3)设,求
和
的值.
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【题目】已知数列.如果数列
满足
,
,其中
,则称
为
的“衍生数列”.
(Ⅰ)若数列的“衍生数列”是
,求
;
(Ⅱ)若为偶数,且
的“衍生数列”是
,证明:
的“衍生数列”是
;
(Ⅲ)若为奇数,且
的“衍生数列”是
,
的“衍生数列”是
,….依次将数列
,
,
,…的第
项取出,构成数列
.证明:
是等差数列.
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