【题目】如图,已知直线与抛物线
(
)交于
、
两点,
为坐标原点,
.
(1)求直线的方程和抛物线
的方程;
(2)若抛物线上一动点
从
到
运动时(
不与
、
重合),求
面积的最大值.
【答案】(1),
;(2)
.
【解析】
1)设,
,将直线方程代入抛物线的方程,运用韦达定理,由向量的坐标运算和点满足抛物线的方程,解方程可得
,
,即可得到所求直线和抛物线的方程;
(2)由直线和抛物线方程联立,运用韦达定理和弦长公式,可得,设
运用点到直线的距离公式,配方,由二次函数的最值求法,可得距离的最大值,进而得到
面积的最大值.
(1)设,
,
由得
,由题意,
,
,
,即有
,
则,所以
,
由,得
,
即,故
,
.
所以,直线的方程为
,抛物线
的方程为
;
(2)由得
,
,
,
所以
,
设,(
),
因为为定值,所以当点
到直线
的距离
最大时,
的面积取最大值.
,
因为,所以当
时,
.
所以,当点坐标为
时,
的面积取最大值,
且.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】数列各项均不为0,前n项和为
,
,
的前n项和为
,且
(1)若数列共3项,求所有满足要求的数列;
(2)求证:是满足已知条件的一个数列;
(3)请构造出一个满足已知条件的无穷数列,并使得
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”.某创客,白手起家,2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的
,每月的生活费等开支为3000元,余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.
(1)问到2015年年底(按照12个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元)
(2)如果银行贷款的年利率为,问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某地拟建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓如图所示,曲线是以点
为圆心的圆的一部分,其中
;曲线
是抛物线
的一部分;
,且
恰好等于圆
的半径.假定拟建体育馆的高
(单位:米,下同).
(1)若,
,求
、
的长度;
(2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过
米,求
的取值范围;
(3)若,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点,
是圆
上的一个动点,
为圆心,线段
的垂直平分线与直线
的交点为
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)设与
轴的正半轴交于点
,直线
与
交于
两点(
不经过
点),且
,证明:直线
经过定点,并写出该定点的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设数列的前
项和为
,对于任意的
,都有
.
(1)求数列的首项
及数列的递推关系式
;
(2)若数列成等比数列,求常数
的值,并求数列
的通项公式;
(3)数列中是否存在三项
、
、
,它们组成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】按照如下规则构造数表:第一行是:2;第二行是:;即3,5,第三行是:
即4,6,6,8;
(即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出,再各项加3写出)
2
3,5
4,6,6,8
5,7,7,9,7,9,9,11
……………………………………
若第行所有的项的和为
.
(1)求;
(2)试求与
的递推关系,并据此求出数列
的通项公式;
(3)设,求
和
的值.
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【题目】所谓声强,是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度,用I表示,人类能听到的声强范围很广,其中能听见的1000Hz声音的声强(约10﹣12W/m2)为标准声强,记作I0,声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级,记作L,即L=lg,声强级L的单位名称为贝(尔),符号为B,取贝(尔)的十分之一作为响度的常用单位,称为分贝(尔).简称分贝(dB).《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事,设张飞大喝一声的响度为140dB.一个士兵大喝一声的响度为90dB,如果一群士兵同时大喝一声相当一张飞大喝一声的响度,那么这群土兵的人数为( )
A.1万B.2万C.5万D.10万
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【题目】已知数列满足:
,
,且
.
(1)求数列前20项的和
;
(2)求通项公式;
(3)设的前
项和为
,问:是否存在正整数
、
,使得
?若存在,请求出所有符合条件的正整数对
,若不存在,请说明理由.
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