【题目】如图, 是边长为
的正方形,平面
平面
,
,
,
,
.
(1)求证:面面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在点
,使得二面角
的大小为
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】试题分析:(1)由平面平面
,
可推出
,再根据
是正方形,可推出
平面
,从而可证
平面
;(2)根据题设条件建立空间直角坐标系,求出平面
的法向量,即可求出直线
与平面
所成角的正弦值;(3)点
在线段
上,设
,
,求出平面
的法向量,根据二面角
的大小为
,即可求出
.
试题解析:(1)证明:∵,
,
,
∴.
∵
∴
又∵是正方形
∴
∵,
,
∴平面
.
又∵
∴ .
(2)解:因为两两垂直,所以建立空间直角坐标系如图所示,则
,
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量为
,
,即
,
,则
∴.
∴直线与平面
所成角的正弦值为
.
(3)解:点在线段
上,设
,
,则
,
设平面的法向量为
,则
,即
,
令则
,
,整理得:
解得: , 此时
.
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【题目】如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
(I)证明:CE∥平面PAB;
(II)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值
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【题目】某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).
(1)求图中的值;
(2)根据已知条件完成下面列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关?
(参考公式: ,其中
)
(3)将频率视为概率,从本次考试的所有人员中,随机抽取4人进行约谈,记这4人中晋级失败的人数为,求
的分布列与数学期望
.
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【题目】如图所示,合肥一中积极开展美丽校园建设,现拟在边长为0.6千米的正方形地块上划出一片三角形地块
建设小型生态园,点
分别在边
上.
(1)当点分别时边
中点和
靠近
的三等分点时,求
的余弦值;
(2)实地勘察后发现,由于地形等原因,的周长必须为1.2千米,请研究
是否为定值,若是,求此定值,若不是,请说明理由.
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【题目】已知椭圆E: 经过点P(2,1),且离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设O为坐标原点,在椭圆短轴上有两点M,N满足,直线PM、PN分别交椭圆于A,B.探求直线AB是否过定点,如果经过定点请求出定点的坐标,如果不经过定点,请说明理由.
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【题目】中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=,椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线的方程;
(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.
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【题目】某市为了考核甲,乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民,根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如下:
(1)分别估计该市的市民对甲,乙两部门评分的中位数;
(2)分别估计该市的市民对甲,乙两部门的评分高于90的概率;
(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲,乙两部门的评价.
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【题目】对于数集,其中
,
,定义向量集
.若对于任意
,使得
,则称
具有性质
.例如
具有性质
.
()若
,且
具有性质
,求
的值.
()若
具有性质
,求证:
,且当
时,
.
()若
具有性质
,且
,
(
为常数),求有穷数列
,
,
,
的通项公式.
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