【题目】某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).
(1)求图中的值;
(2)根据已知条件完成下面列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关?
(参考公式: ,其中
)
(3)将频率视为概率,从本次考试的所有人员中,随机抽取4人进行约谈,记这4人中晋级失败的人数为,求
的分布列与数学期望
.
【答案】(1) (2) 有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关(3)见解析
【解析】试题分析:(1)根据频率和为1,列方程求出a的值;
(2)由频率分布直方图计算晋级成功的频率,填写列联表,计算观测值K2,对照临界值得出能有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关;
(3)由晋级失败的频率估计概率,得X~B(4, ),计算对应的概率,写出X的分布列,计算数学期望值.
试题解析:
(Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可知
,故
.
(Ⅱ)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为,
故晋级成功的人数为(人),
故填表如下
假设“晋级成功”与性别无关,
根据上表数据代入公式可得,
所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关.
(III)由频率分布直方图知晋级失败的频率为,将频率视为概率,则从本次考试的所有人员中,随机抽取1人进行约谈,这人晋级失败的概率为
,
故可视为服从二项分布,
即,
,
故 ,
,
,
,
,
故的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
或(
.
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【题目】2018年9月,台风“山竹”在沿海地区登陆,小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失,将收集到的数据分成五组:,
,
,
,
单位:千元
,并作出如下频率分布直方图
经济损失不超过4千元 | 经济损失超过4千元 | 合计 | |
捐款超过 500元 | 60 | ||
捐款不超 过500元 | 10 | ||
合计 |
1
台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小张调查的100户居民捐款情况如表格,在表格空白处填写正确数字,并说明是否有
以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4千元有关?
2
将上述调查得到的频率视为概率,现在从该地区大量受灾居民中,采用随机抽样的方法每次抽取一户居民,连抽3次,记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4千元的户数为
,若每次抽取的结果是相互独立的,求
的分布列和数学期望.
附:临界值表:
k |
随机变量:,其中
.
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【题目】在圆上任取一点
,过点
作
轴的垂线段,垂足为
,点
在线段
上,且
,当点
在圆上运动时.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)设直线与上述轨迹
相交于M、N两点,且MN的中点在直线
上,求实数k的取值范围.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,过点
的直线
的参数方程为
(
为参数).以原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
相交于
,
两点,求
的值.
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【题目】已知椭圆的两个焦点分别为
、
,短轴的两个端点分别为
、
,且
为等边三角形.
(1)若椭圆长轴的长为4,求椭圆的方程;
(2)如果在椭圆上存在不同的两点
、
关于直线
对称,求实数
的取值范围;
(3)已知点,椭圆
上两点
、
满足
,求点
横坐标的取值范围.
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【题目】如图,三棱锥,侧棱
,底面三角形
为正三角形,边长为
,顶点
在平面
上的射影为
,有
,且
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点
使得
⊥平面
,如果存在,求
的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图, 是边长为
的正方形,平面
平面
,
,
,
,
.
(1)求证:面面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在点
,使得二面角
的大小为
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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