Question

【题目】对于数集，其中， ，定义向量集．若对于任意，使得，则称具有性质．例如具有性质．

（）若，且具有性质，求的值．

（）若具有性质，求证： ，且当时， ．

（）若具有性质，且， （为常数），求有穷数列， ， ， 的通项公式．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）见解析；（3）， ， ， ， ，

【解析】试题分析：（Ⅰ）由于具有该性质，所以必有任意向量都存在垂直向量，可以求出值。

（Ⅱ）取，设满足，可得， 、中之一为-1，另一为1，故1X，然后只要用反证法证明之间不存在即可；

（Ⅲ）可以利用后一项比前一项的比值建立数集，最终求出后一项与前一项比是定值，从而是等比数列.

试题解析：

（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式.

所以x=2b，从而x=4.

（2）证明：取.设满足.

由得，所以、异号.

因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，

故1X.

假设，其中，则.

选取，并设满足，即，

则、异号，从而、之中恰有一个为-1.

若=-1，则，矛盾；

若=-1，则，矛盾.

所以x1=1.

（3）设，，则等价于。

记，则数集具有性质当且仅当数集关于原点对称。

注意到是中的唯一负数，共有个数，所以也只有个数。

由于，已有个数，对以下三角数阵，

，。

注意到，所以，从而数列的通项为。