Question

【题目】已知圆M的方程为，直线l的方程为，点P在直线l上，过P点作圆M的切线，，切点为A，B.

（1）若，试求点P的坐标；

（2）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标；

（3）设线段的中点为N，求点N的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）或（2）证明见解析；定点和（3）

【解析】

（1）设，由题可知，代入两点间的距离公式可得，求解可得点的坐标；

（2）的中点，因为PA是圆M的切线，进而可知经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到结果；

（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线的方程，且得直线过定点，由几何性质得，即点N在以为直径的圆上，进而可得结果.

（1）设，因为是圆M的切线，，

所以，，

所以，解之得，，

故所求点P的坐标为或.

（2）的中点，

因为是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以为半径的圆，

故其方程为：，

化简得：，

此式是关于m的恒等式，故解得或.

所以经过A，P，M三点的圆必过定点和.

（3）由

可得：，即，

由可得过定点.

因为N为圆M的弦的中点，所以，即，

故点N在以为直径的圆上，

点N的轨迹方程为.