【题目】如图,在四棱锥中,底面
为直角梯形,
,平面
底面
,
为
中点,
是棱
上的点,
.
(Ⅰ)若点是棱
的中点,求证:
平面
;
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)若二面角为
,设
,试确定
的值.
【答案】(I)详见解析;(II)详见解析;(III).
【解析】试题分析:(Ⅰ)连接交
于
,连接
,证得
,再利用线面平行的判定定理,证得
平面
;
(Ⅱ)因为为
中点,得到
,进而得到
平面
,利用面面垂直的判定定理,即可证明平面
平面
;
(Ⅲ)以为原点,以
的方向分别为
轴,
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,求得平面
的一个法向量
和平面
中,
,利用向量的夹角公式,即可求得
的值.
试题解析:
(Ⅰ)证明:连接交
于
,连接
,
因为且
,即
且
所以四边形为平行四边形,且
为
中点,
又因为是
中点,
所以,
因为平面
,
平面
所以平面
.
(Ⅱ)因为为
中点,
所以四边形为平行四边形,所以
.
因为,所以
,即
.
又因为平面平面
,且平面
平面
,
所以平面
,
因为平面
,
所以平面平面
.
(Ⅲ)因为为
的中点,所以
.
又因为平面平面
,且平面
平面
,
所以平面
以为原点,以
的方向分别为
轴,
轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则点,
,
,
,平面
的一个法向量
.
设,则
,
,
因为
所以
在平面中,
,
因为二面角为
,
所以,
所以.
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【题目】若是各项均为正数的数列
的前
项和,且
.
(1)求的值;
(2)设,且数列
的前
项和
满足
对任意正整数
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)设,问:是否存在正整数
,使得
对一切正整数
恒成立?若存在,请求出实数
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某物流公司引进了一套无人智能配货系统,购买系统的费用为80万元,维持系统正常运行的费用包括保养费和维修费两部分,每年的保养费用为1万元.该系统的维修费为:第一年万元,第二年
万元,第三年2万元,…,依等差数列逐年递增.
(1)求该系统使用n年的总费用(包括购买设备的费用);
(2)求该系统使用多少年报废,使年平均费用最少.
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,点
在椭圆
上,满足
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线过点
,且与椭圆只有一个公共点,直线
与
的倾斜角互补,且与椭圆交于异于点
的两点
,
,与直线
交于点
(
介于
,
两点之间).
(i)求证:;
(ii)是否存在直线,使得直线
、
、
、
的斜率按某种顺序能构成等比数列?若能,求出
的方程;若不能,请说明理由.
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【题目】某学校在学校内招募了名男志愿者和
名女志愿者.将这
名志愿者的身高编成如右茎叶图(单位:
),若身高在
以上(包括
)定义为“高个子”,身高在
以下(不包括
)定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.
(Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取人,再从这
人中选
人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?
(Ⅱ)若从所有“高个子”中选名志愿者,用
表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出
的分布列,并求
的数学期望.
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【题目】已知圆M的方程为,直线l的方程为
,点P在直线l上,过P点作圆M的切线
,
,切点为A,B.
(1)若,试求点P的坐标;
(2)求证:经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标;
(3)设线段的中点为N,求点N的轨迹方程.
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【题目】(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且
过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆
交于
两点(点
均在第一象限),且直线
的斜率成等比数列,证明:直线
的斜率为定值.
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