【题目】如图,四边形为矩形,
,
,
为线段
上的动点.
(1)若为线段
的中点,求证:
平面
;
(2)若三棱锥的体积记为
,四棱锥
的体积记为
,当
时,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)连接,
,记它们的交点为
,连接
,利用中位线可得
,再利用线面平行的判定定理可证.
(2)设,取
中点
,利用三棱锥的体积公式和
,可得
,再建立空间直角坐标系,利用向量可得二面角
的余弦值.
(1)连接,
,记它们的交点为
,连接
因为四边形为矩形,∴
为
中点,
又为线段
的中点,∴
,
而平面
,
平面
∴平面
.
(2)∵矩形,∴
,
又,∴
,
,∴
平面
,
设,取
中点
,
因为是等边三角形,∴
,
又因为平面
,
∴,
,∴
平面
,且
,
设三棱锥的高为
,则
,∴
,
由得
,解得
,
由题意,如图以点为坐标原点建立空间直角坐标系,则
,
,
,
∵,∴
,
易知平面的一个法向量为
,
设平面的法向量为
,
则
令则得平面
的一个法向量
,
因为二面角为锐角二面角,
所以二面角的余弦值为
.
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【题目】甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000,12000,15000,其成本构成如下图所示,则关于这三家企业下列说法错误的是( )
A.成本最大的企业是丙企业B.费用支出最高的企业是丙企业
C.支付工资最少的企业是乙企业D.材料成本最高的企业是丙企业
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【题目】设数列的前
项和为
,对于任意的
,都有
.
(1)求数列的首项
及数列的递推关系式
;
(2)若数列成等比数列,求常数
的值,并求数列
的通项公式;
(3)数列中是否存在三项
、
、
,它们组成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥S﹣ABCD中,SA⊥底面ABCD,底面ABCD是平行四边形,E是线段SD上一点.
(1)若E是SD的中点,求证:SB∥平面ACE;
(2)若SA=AB=AD=2,SC=2,且DE
DS,求二面角S﹣AC﹣E的余弦值.
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【题目】所谓声强,是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度,用I表示,人类能听到的声强范围很广,其中能听见的1000Hz声音的声强(约10﹣12W/m2)为标准声强,记作I0,声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级,记作L,即L=lg,声强级L的单位名称为贝(尔),符号为B,取贝(尔)的十分之一作为响度的常用单位,称为分贝(尔).简称分贝(dB).《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事,设张飞大喝一声的响度为140dB.一个士兵大喝一声的响度为90dB,如果一群士兵同时大喝一声相当一张飞大喝一声的响度,那么这群土兵的人数为( )
A.1万B.2万C.5万D.10万
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【题目】已知椭圆E:过点(0,1)且离心率
.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设动直线l与两定直线l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆E有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)设为曲线
上的点,
,垂足为
,若
的最小值为
,求
的值.
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【题目】设为正整数,若两个项数都不小于
的数列
,
满足:存在正数
,当
且
时,都有
,则称数列
,
是“
接近的”.已知无穷等比数列
满足
,无穷数列
的前
项和为
,
,且
,
.
(1)求数列通项公式;
(2)求证:对任意正整数,数列
,
是“
接近的”;
(3)给定正整数,数列
,
(其中
)是“
接近的”,求
的最小值,并求出此时的
(均用
表示).(参考数据:
)
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【题目】已知数列的通项公式为
,其中
,
、
.
(1)试写出一组、
的值,使得数列
中的各项均为正数.
(2)若,
,数列
满足
,且对任意的
(
),均有
,写出所有满足条件的
的值.
(3)若,数列
满足
,其前
项和为
,且使
(
、
,
)的
和
有且仅有
组,
、
、…、
中有至少
个连续项的值相等,其它项的值均不相等,求
、
的最小值.
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