Question

【题目】已知椭圆E:过点(0,1)且离心率.

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)设动直线l与两定直线l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆E有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)y2=1 (Ⅱ)存在,最小值为1

【解析】

(Ⅰ)由题意可得，根据离心率及间的关系即可求解 (Ⅱ)当直线l的斜率不存在时，易知S△OPQ，当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,k≠±1，根据点到直线的距离公式和三角形面积公式，借助函数的性质即可求出.

(Ⅰ)由已知得b=1,,a2=b2+c2,

解得a,b=c=1,

所以椭圆的E方程为y2=1,

(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,直线l为x或x,

都有:S△OPQ22.

当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,k≠±1,

由,消去y,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,

∴△=﹣8m2+8+16k2,由题可知,△=0,有m2=2k2+1,

又 可得P(,);同理可得Q(,).

由原点O到直线PQ的距离为d和|PQ|=2|m|,

可得S△OPQd|PQ|=||,

∵m2=2k2+1,

∴S△OPQ,

当1﹣k2<0,即k>1或k<﹣1时,S△OPQ22,

当1﹣k2>0,即﹣1<k<1时,S△OPQ2,

因为0<1﹣k2≤1,

所以3,

所以S△OPQ21,当且仅当k=0时等号成立.

综上,当k=0时,△OPQ的面积存在最小值为1.