Question

【题目】已知数列的通项公式为，其中且.

（1）若是正项数列，求的取值范围；

（2）若，数列满足，且对任意，均有，写出所有满足条件的的值；

（3）若，数列满足，其前n项和为，且使的i和j至少4组，、、……、中至少有5个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求，满足的充要条件并加以证明.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）证明见解析.

【解析】

（1）通过函数是与x轴交于两点且开口向上的抛物线可知，只需知均在1的左边即可；

（2）通过化简可知，排除可知，此时可知对于而言，当时单调递减，当时单调递增，进而解不等式组即得结论；

（3）通过及可知 ，结合可知，从而可知的最小值为5，通过中至少5个连续的值相等可知，且其他值不相等

，进而可得的值为8.

（1）由题意，，，

使数列为正项数列，则，故的取值范围是

（2）

当时，均单调递增，不合题意

当时，对于可知，当时单调递减，当时单调递增，由题意可知

联立不等式，解得

（3）

又，或

此时的的四个值为1，2，3，4，故又中至少5个连续的值相等

不妨设，则

因为当时，

，而使其他值不相等，则

故