【题目】已知椭圆C:1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为
,A为椭圆C上一点,且AF2⊥F1F2,且|AF2|
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左右顶点为A1,A2,过A1,A2分别作x轴的垂线 l1,l2,椭圆C的一条切线l:y=kx+m(k≠0)与l1,l2交于M,N两点,试探究是否为定值,并说明理由.
【答案】(1) (2)是,理由见解析
【解析】
(1)设椭圆的焦距为,由已知可得点
的横坐标为
,将
代入椭圆可得
,可得
,再由离心率
,结合
,求出
,即可求解;
(2)由(1)得l1:x=﹣2,l2:x=2,直线l方程与椭圆方程联立,消去,得到关于
的一元二次方程,
,求出
关系,求出直线l1,l2与直线l的交点
坐标,求出
,即可求出结论.
(1) 设椭圆的焦距为,根据题意
,
A为椭圆C上一点,且AF2⊥F1F2,
点的横坐标为
,将
代入椭圆可得
,
且|AF2|,所以
解得a=2,b,椭圆的方程为:
;
(2)由题设知l1:x=﹣2,l2:x=2,直线l:y=kx+m,
联立,消去y,
得,
故,
l与11,l2联立得M(﹣2,﹣2k+m),N(2,2k+m),又F2(1,0),
所以(3,2k﹣m)(﹣1,﹣2k﹣m)
=﹣3﹣(2k﹣m)(2k+m)=﹣3﹣4k2+m2=0,
故为定值.
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【题目】已知数列
满足
;数列
满足
;数列
为公比大于1的等比数列,且
,
为方程
的两个不相等的实根.
(1)求数列和数列
的通项公式;
(2)将数列中的第
项,第
项,第
项,……,第
项,……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列
,求数列
的前2013项和.
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【题目】已知数列的通项公式为
,其中
且
.
(1)若是正项数列,求
的取值范围;
(2)若,数列
满足
,且对任意
,均有
,写出所有满足条件的
的值;
(3)若,数列
满足
,其前n项和为
,且使
的i和j至少4组,
、
、……、
中至少有5个连续项的值相等,其它项的值均不相等,求
,
满足的充要条件并加以证明.
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【题目】已知等差数列的首项为
,公差为
,等比数列
的首项为
,公比为
,其中
,且
.
(1)求证:,并由
推导
的值;
(2)若数列共有
项,前
项的和为
,其后的
项的和为
,再其后的
项的和为
,求
的比值.
(3)若数列的前
项,前
项、前
项的和分别为
,试用含字母
的式子来表示
(即
,且不含字母
)
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【题目】已知.
(1)当时,解不等式
;
(2)若关于的方程
的解集中恰好有一个元素,求实数
的值;
(3)设,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过
,求
的取值范围.
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【题目】如图,圆与长轴是短轴两倍的椭圆
:
相切于点
(1)求椭圆与圆
的方程;
(2)过点引两条互相垂直的两直线
与两曲线分别交于点
与点
(均不重合).若
为椭圆上任一点,记点
到两直线的距离分别为
,求
的最大值,并求出此时
的坐标.
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【题目】已知命题:“若,
为异面直线,平面
过直线
且与直线
平行,则直线
与平面
的距离等于异面直线
,
之间的距离”为真命题.根据上述命题,若
,
为异面直线,且它们之间的距离为
,则空间中与
,
均异面且距离也均为
的直线
的条数为( )
A.0条B.1条C.多于1条,但为有限条D.无数多条
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【题目】过抛物线的焦点为F且斜率为k的直线l交曲线C于
、
两点,交圆
于M,N两点(A,M两点相邻).
(1)求证:为定值;
(2)过A,B两点分别作曲线C的切线,
,两切线交于点P,求
与
面积之积的最小值.
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【题目】已知正项数列,
满足:对任意正整数
,都有
,
,
成等差数列,
,
,
成等比数列,且
,
.
(Ⅰ)求证:数列是等差数列;
(Ⅱ)求数列,
的通项公式;
(Ⅲ)设=
+
+…+
,如果对任意的正整数
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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