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    【题目】已知p3+q3=2,求证:p+q≤2.

    【答案】假设p+q>2,则q>2-p,

    根据幂函数y=x3的单调性,得q3>(2-p)3,

    即q3>8-12p+6p2-p3,

    p3+q3>8-12p+6p2=6≥2,

    故p3+q3>2.因此p3+q3≠2.

    这与题设p3+q3=2矛盾,从而假设不成立.

    故p+q≤2成立.

    【解析】

    利用反证法，假设结论不成立，根据函数的单调性与整式的乘方运算，构造立方和的形式，证明假设的结论与题设矛盾，即可证得原结论正确.

    假设p+q>2,则q>2-p,

    根据幂函数y=x3的单调性,得q3>(2-p)3,

    即q3>8-12p+6p2-p3,

    p3+q3>8-12p+6p2=6≥2,

    故p3+q3>2.因此p3+q3≠2.

    这与题设p3+q3=2矛盾,从而假设不成立.

    故p+q≤2成立.

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