Question

函数f(x)=

ax2+1，x≥0 (a2-1)2ax，x＜0

，在（-∞，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　）

• A．（-∞，-

  2

  ]∪（1，

  2

  ]
• B．（ 1，

  2

  ]
• C．[-

  2

  ，-1）∪[

  2

  ，+∞）
• D．[

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：先分区间使函数f（x）在每个区间上都单调递增，再保证（a²-1）2^a×0≤a×0²+1，解出a的范围取交集即可．

解答：解：因为函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
则①当x≥0时，f（x）=ax²+1是单调递增函数，所以a＞0．
②当x＜0时，f（x）=（a²-1）2^ax是单调递增函数，所以f′（x）=aln2•（a²-1）2^ax≥0，
因为a＞0，所以a≥1．
当a=1时f（x）=0不具有单调性，所以a=1舍去，所以a＞1．
又函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
所以（a²-1）2^a×0≤a×0²+1，解得-

2

≤a≤

2

．
由以上可得1＜a≤

2

，即a的取值范围为（1，

2

]．
故选B．

点评：本题考查函数单调性的性质，解决这种分段函数单调性问题的关键是先分区间保证函数单调，再保证最值之间满足大小关系即可．