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已知函数f(x)=
ax2-(1+a)x+1

(1)当a=0时,求证函数f(x)在它的定义域上单调递减
(2)是否存在实数a使得区间[-1,1]上一切x都满足f(x)≤
3
,若存在,求实数a的值;若不存在,说明理由.
分析:(1)当a=0时,利用被开方数大于等于0 可求函数的定义域,利用导数小于0,可证在它的定义域上单调递减
(2)假设存在实数a使得区间[-1,1]上一切x都满足f(x)≤
3
,两边平方即可求得.
解答:解:(1)a=0时,f(x)=
1-x
,定义域为(-∞,1];
∵f/(x)=-
1
2
x
<0

∴函数f(x)在它的定义域上单调递减
(2)假设存在实数a使得区间[-1,1]上一切x都满足f(x)≤
3

f(x)=
ax2-(1+a)x+1
3

即-1≤ax2-(1+a)x≤2在区间[-1,1]上恒成立
∴-1≤2a+1≤2
-1≤a≤
1
2
点评:本题以函数为载体,考查函数的单调性,考查存在性问题,关键是等价转化.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a-
12x+1

(1)求证:不论a为何实数f(x)总是为增函数;
(2)确定a的值,使f(x)为奇函数;
(3)当f(x)为奇函数时,求f(x)的值域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)图象经过点Q(8,6).
(1)求a的值,并在直线坐标系中画出函数f(x)的大致图象;
(2)求函数f(t)-9的零点;
(3)设q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函数q(t)的单调递增区间.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)为奇函数,则a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若直线x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线,求实数a的值;
(III)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值;
(3)考察f(x)在定义域上单调性的情况,并证明你的结论.

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