Question

等差数列中，若S_m=S_n（m≠n），则S_m+n=

0

．

Answer 1

分析：先设出S_n的表达式，把m和n代入S_n的表达式后，两式相减整理求得a（m+n）+b=0，进而代入到S_m+n=a（m+n）²+b（m+n）=（m+n）[a（m+n）+b]中，答案可得．

解答：解：数列{a_n}成等差数列的充要条件是S_n=an²+bn（其中a，b为常数），
故有

Sn=an2+bn Sm=am2+bm

两式想减得a（m²-n²）+b（m-n）=0，
∴（m-n）[a（m+n）+b]=0，
∵m≠n，
∴a（m+n）+b=0，
∴S_m+n=a（m+n）²+b（m+n）
=（m+n）[a（m+n）+b]=0．
故答案为0．

点评：本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键了利用了{a_n}成等差数列的必要条件是S_n=an²+bn．