Question

17．甲设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有同样大小的10个球，分别标有数字0，1，2，…9这十个数字，摸奖者交5元钱可参加一回摸球活动，一回摸球活动的规则是：摸奖者在摸球前先随机确定（预报）3个数字，然后开始在袋中不放回地摸3次球，每次摸一个，摸得3个球的数字与预先所报数字均不相同的奖1元，有1个数字相同的奖2元，2个数字相同的奖10元，3个数字相同的奖50元，设ξ为摸奖者一回所得奖金数，求ξ的分布列和摸奖人获利的数学期望．

Answer 1

分析 由已知得ξ可能取的值为1，2，10，50，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ，又设η为摸奖者获利的可能值，则η=ξ-5，由此能求出摸奖人获利的数学期望．

解答 解：ξ为摸奖人摸一回所得奖金数，ξ可能取的值为1，2，10，50．其中：P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{35}{120}$，
 P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{7}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{63}{120}$，
P（ξ=10）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{120}$，
P（ξ=50）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{7}^{0}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
ξ的分布列：

ξ	1	2	10	50
P	$\frac{35}{120}$	$\frac{63}{120}$	$\frac{21}{120}$	$\frac{1}{120}$

∴Eξ=$1×\frac{35}{120}+2×\frac{63}{120}+10×\frac{21}{120}+50×\frac{1}{120}$=$\frac{421}{120}$，
又设η为摸奖者获利的可能值，则η=ξ-5，
所以摸奖人获利的数学期望为Eη=E（ξ-5）=Eξ-5=$\frac{421}{120}-5$=-$\frac{179}{120}$≈-1.49．
答：摸奖人获利的期望-1.49．

点评 本题考查离散型随机变量ξ的分布列和摸奖人获利的数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．