Question

6．过曲线y=x³上一点P（1，1）作该曲线的切线，求该切线的方程．

Answer 1

分析 ①若（1，1）为切点，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程；
②若不是切点，设出切点坐标，求出切线的斜率，由点斜式写出切线方程，把原点代入切线方程中化简可求出切点的横坐标，把横坐标代入即可求出切点的纵坐标，且得到切线的斜率，即可求出切线方程．

解答 解：y=x³的导数y′=3x²，
①若（1，1）为切点，k=3•1²=3，
∴切线l：y-1=3（x-1）即3x-y-2=0；
②若（1，1）不是切点，
设切点P（m，m³），k=3m²=$\frac{{m}^{3}-1}{m-1}$，
即2m²-m-1=0，则m=1（舍）或-$\frac{1}{2}$
∴切线l：y-1=$\frac{3}{4}$（x-1）即3x-4y+1=0．
故切线方程为：3x-y-2=0或3x-4y+1=0．

点评 本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点处的切线方程等基础知识，注意在某点处和过某点的切线，考查运算求解能力．属于中档题和易错题．