Question

如图,设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上,记=λ.当∠APC为钝角时,求λ的取值范围.

Answer 1

答案：（1）解：由题设可知,以,,为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D₁(0,0,1).

由=(1,1,-1),

得=λ=(λ,λ,-λ),

所以=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1),

=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1).

显然∠APC不是平角,所以∠APC为钝角等价于cos∠APC=cos〈,〉=＜0,

这等价于·＜0,

即（1-λ）(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)²=(λ-1)(3λ-1)＜0,得＜λ＜1.

因此，λ的取值范围为（,1）.