Question

已知函数f（x）在实数集R上有定义，满足f（0）=1，且对于任意的x₁，x₂∈R恒有f（x₁-x₂）=f（x₁）-x₂（2x-x₁+1）成立，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：设x为任意的实数，令x₁=x₂=x代入f（x₁-x₂）=f（x₁）-x₂（2x-x₁+1）成立，得到f（x-x）=f（x）-x（2x-x+1），
故f（0）=f（x）-x（2x-x+1），把f（0）=1代入即可得到函数表达式．

解答： 解：设x为任意的实数，令x₁=x₂=x代入f（x₁-x₂）=f（x₁）-x₂（2x-x₁+1）成立，
得到f（x-x）=f（x）-x（2x-x+1），
故f（0）=f（x）-x（2x-x+1），
∵f（0）=1
故1=f（x）-x（2x-x+1），
化简得f（x）=x（x+1）+1
函数f（x）的解析式为：f（x）=x（x+1）+1．

点评：本题主要考查函数的解析式求法，对于抽象函数，利用所给的条件代换是解题的关键